Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Question

Folgendes ist zu beweisen: P(A)∩P(B)⊂P(A∪B) 

∀x:x∈(P(A)∧P(B))⇒x∈P(AvB)

Sei x fest aber beliebig, zu zeigen ist x∈P(AvB)

Annahme: x∈P(A)∧x∈P(B) ist wahr

⇔P(x∈A)∧P(x∈B)⇒P(x∈A v x∈B)

Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Answer 1

Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Warum meinst du, das zeigen zu müssen?

Sei $M\in P(A)\cap P(B)$. Dann ist insbesondere $M\in P(A)$,

also $M\subseteq A\subseteq A\cup B$ und damit ist auch

$M\in P(A\cup B)$, q.e.d.

Comments

Ich hätte gedacht man müsse x∈A oder x∈B zeigen, dass die Disjunktion wahr ist

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Aber du schreibst doch unter anderem: $x\in P(A)$.

$P(A)$ ist die Potenzmenge von $A$, also

die Menge aller Teilmengen von $A$, d.h. dass

$x$ eine Teilmenge von $A$ ist, nicht ein Element von $A$.

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Asooo. Jetzt ist mir klar. Ich habe die ganze Zeit nicht das Prinzip der Potenzmenge berücksichtigt. Vielen Dank

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Aber mal angenommen P(A)∩P(B)=P(A∩B)

Dann muss ich ja zeigen, dass P(A)∩P(B)⊆P(A∩B) und P(A∩B)⊆P(A)∩P(B) oder?

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Ja.

Diese Aussage ist äquivalent zu

$M\subseteq A \wedge M \subseteq B\iff M \subseteq A \cap B$.