Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Question

Folgendes ist zu beweisen: P(A)∩P(B)⊂P(A∪B) 

∀x:x∈(P(A)∧P(B))⇒x∈P(AvB)

Sei x fest aber beliebig, zu zeigen ist x∈P(AvB)

Annahme: x∈P(A)∧x∈P(B) ist wahr

⇔P(x∈A)∧P(x∈B)⇒P(x∈A v x∈B)

Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Answer 1

Wie kann ich jetz zeigen in den nächsten Schritten, dass x∈A ist?

Warum meinst du, das zeigen zu müssen?

Sei \(M\in P(A)\cap P(B)\). Dann ist insbesondere \(M\in P(A)\),

also \(M\subseteq A\subseteq A\cup B\) und damit ist auch

\(M\in P(A\cup B)\), q.e.d.

Comments

Ich hätte gedacht man müsse x∈A oder x∈B zeigen, dass die Disjunktion wahr ist

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Aber du schreibst doch unter anderem: \(x\in P(A)\).

\(P(A)\) ist die Potenzmenge von \(A\), also

die Menge aller Teilmengen von \(A\), d.h. dass

\(x\) eine Teilmenge von \(A\) ist, nicht ein Element von \(A\).

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Asooo. Jetzt ist mir klar. Ich habe die ganze Zeit nicht das Prinzip der Potenzmenge berücksichtigt. Vielen Dank

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Aber mal angenommen P(A)∩P(B)=P(A∩B)

Dann muss ich ja zeigen, dass P(A)∩P(B)⊆P(A∩B) und P(A∩B)⊆P(A)∩P(B) oder?

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Ja.

Diese Aussage ist äquivalent zu

\(M\subseteq A \wedge M \subseteq B\iff M \subseteq A \cap B\).