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Die Quersumme einer zwei zifferigen Zahl ...
Die Quersumme \(q(z)\) einer Zahl \(z\) ist die Summe ihrer Ziffern. Hat eine Zahl \(z\) zwei Ziffern \(a\) und \(b\), so kann man schreiben:$$z = 10 a + b \\ q(z) = a + b$$mache Dir das an hand eines Beispiels klar. Die Zahl \(53\) hat die Ziffern \(5\) und \(3\). Die Quersumme ist \(q(53)=5+3=8\). Und man kann \(53\) schreiben als \(53 = 10\cdot 5 + 3\).
Die Quersumme einer zwei zifferigen Zahl ist 9.
$$a + b = 9 \implies b = 9 -a$$Da die Summe \(9\) ist, lässt sich \(a\) berechnen, wenn \(b\) bekannt ist.
Stellt man die Ziffern um, ...
Heißt die Ziffern werden getauscht. Aus \(z=10a+b\) wird \(z_{neu} = 10b + a\)
Stellt man die Ziffern um, so ist die neue Zahl 7/4 mal so groß wie die alte.
Die neue Zahl \(z_{neu}\) ist größer als \(z\). Und zwar um den Faktor \(7/4\). Wenn man also \(z\) mit \(7/4\) multipliziert, muss \(z_{neu}\) heraus kommen:$$\begin{aligned} \frac 74 z &= z_{neu} \\ \frac74(10a + b) &= 10b +a &&|\, \cdot 4 \\ 7(10a + b) &= 4(10b +a) \\ 70a + 7b &= 40b + 4a &&|\,-4a \\ 66a + 7b &= 40b &&|\, -7b \\ 66a &= 33b &&|\, \div 33 \\ 2a &= b &&|\, b = 9-a \quad \text{(s.o.)} \\ 2a &= 9-a &&|\, +a \\ 3a &= 9 &&|\, \div 3 \\ a &= 3 \\ \implies b &= 9 - a = 9-3 = 6 \end{aligned}$$Die Zahl \(z\) war also \(z=36\).
Gruß Werner
