Gegeben sei die rekursiv definierte Folge \(x_{n+1}=\dfrac{2+x_n^2}{3+x_n}\) mit \(x_0=1\).
(1) Stelle zunächst fest, dass alle Folgeglieder positiv sind.
(2) Zeige per Induktion über \(n\), dass \(x_n>\frac23\) für alle \(n\) ist:
Die Aussage gilt offenbar für \(n=0\). Die Aussage gelte für ein beliebiges aber festes \(n\). Es folgt$$\quad x_{n+1}-\frac23=\frac{2+x_n^2}{3+x_n}-\frac23=x_n\cdot\frac{x_n-\frac23}{3+x_n}>0.$$(3) Zeige, dass die Folge streng monoton fällt:$$\quad x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{2+x_n^2}{3+x_n}=\frac{3x_n-2}{3+x_n}>0.$$(4) Nach (2) und (3) ist die Folge nach unten beschränkt und streng monoton fallend. Daraus folgt bekanntlich Konvergenz.
(5) Der Grenzwert \(x\) berechnet sich aus$$\quad x=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+x_n^2}{3+x_n}=\frac{2+x^2}{3+x}$$\(\quad\)zu \(\boxed{x=\dfrac23}\,.\)
