Stimmt diese Aussage oder nicht? (Verteilungsgesetz bei Wurzeln und Summen)

Question

Kai behauptet: „Es gilt immer \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b} \)". Merle widerspricht. Kai sagt: „Ich habe aber viele Zahlenbeispiele, bei denen das stimmt."

Nehmen Sie dazu Stellung und suchen Sie möglichst viele Zahlenbeispiele, bei denen Kai Recht hat.

Answer 1

Merle:

Z.B.

√16+√9=4+3=7

√(16+9)=√25=5

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Kais Behauptung gilt nur, wenn √(ab) = 0 ist, denn:

(√a + √b)² = a + b + 2√(ab) = a + b für a=0 oder b=0.

Für a=0 kann b jede beliebige Zahl sein. Also gibt es unendlich viele Beispiele.

Comments

Das sind aber keine Beispiele, bei denen Kai recht hat.

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Darum habe ich ja "Merle" darüber geschrieben. (Jetzt in Fettdruck.)

:-)

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Das hab ich dann wohl überlesen. :-)

Answer 2

So viele Beispiele gibt es da aber nicht, denn mit \(a,b\geq 0\) haben wir

$$\sqrt a + \sqrt b = \sqrt{a+b} \Leftrightarrow a+b + 2\sqrt{ab} = a+b \Leftrightarrow ab=0$$

Also muss immer mindestens eine der beiden Zahlen Null sein.

Answer 3

Wenn das für \(a,b\) zutrifft, dann muss auch

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = \sqrt{a+b}^2\) sein, also

\(\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2=a+2\sqrt{ab}+b=a+b\) sein, also ...

Answer 4

Erstmal ist klar, dass Zahlenbeispiele genommen werden, wo es offensichtlich so ist.

z.B. mit 0

Erstmal würde ich folgende 2 Punkte hervorheben:

1. Wurzel kannst du umschreiben in hoch 0,5 oder hoch \( \frac{1}{2} \)

2. Das Ergebnis einer Wurzel ist immer "±", kennst du vielleicht von der pq-Formel noch

ich mach das jetzt nicht auf uniweise, da die Aufgabenstellung auf Schule hinweist.

da, das eine Gleichung ist, können wir diese einfach quadieren, also:

\( \sqrt{a} \) + \( \sqrt{b} \) = \( \sqrt{a+b} \)       ->      (\( \sqrt{a} \) + \( \sqrt{b} \))^2= (\( \sqrt{a+b} \))^2

rechts ist logisch, wurzel und quadierung elemenieren sich

(\( \sqrt{a} \) + \( \sqrt{b} \))^2= a+b

links geht das nicht so einfach, aber können es umschreiben

(\( \sqrt{a} \) + \( \sqrt{b} \) )· (\( \sqrt{a} \) + \( \sqrt{b} \)) = a+b  

benutz die binomische Formel oder rechne es selbst per ausmultiplikation aus :D

dann kommt:

(\( \sqrt{a} \))^2 + 2·\( \sqrt{a} \) ·\( \sqrt{b} \) + (\( \sqrt{b} \))^2  = a+b

hier geht es wieder einfacher
a + 2·\( \sqrt{a} \) ·\( \sqrt{b} \) + b =a+b     ι - a   ι - b
2·\( \sqrt{a} \) ·\( \sqrt{b} \) = a-a + b-b = 0   ι : 2
\( \sqrt{a} \) ·\( \sqrt{b} \)=0   <- kannst wieder quadieren, da es eine Gleichung ist und a und b zusammenfassen, wegen den gleichen Exponenten
(\( \sqrt{a·b} \)) ^2 = 0
a·b=0das bedeutet, dass a oder b immer 0 sein muss, da a ≠b ist
Somit kann a oder b, jede beliebige Zahl sein, sobald, die andere Variabel 0 ist.

wenn aber a UND b ≠ 0 sind, dann funktioniert die Gleichung nicht.