Wie kann ich die Volumenberechnung eines Drehkörpers (um die y-Achse) (Integration) um x-Achsenwerte beschränken?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich die Volumenberechnung eines Drehkörpers (um die y-Achse) (Integration) um x-Achsenwerte beschränken?

Problem/Ansatz:

Ich das Volumen eines Drehkörper (um die y-Achse) mit y=12/49*(0-5)^2 berechnen.

Die x-Werte gehen allerdings nicht von 0-5 sondern von 1,5-5.

Comments

y=12/49*(0-5)^2

Da fehlt ein x

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Statt 0 gehört das x.

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Das ist kein Drehkörper sondern eine Ringscheibe.

Nachtrag:

Statt 0 gehört das x.

Na dann.

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Die Funktion müsste passen. Ich hab sie sogar in geogebra zeichnen lassen.

Answer 1

Funktion

f(x) = 12/49·(x - 5)^2

Umkehrfunktion

g(x) = 5 - √(49/12·x)

Kreisringfunktion

a(x) = pi·((5 - √(49/12·x))^2 - 1.5^2) = pi·(25 - 10·√(49/12·x) + 49/12·x - 2.25)

Stammfunktion der Kreisringfunktion

A(x) = pi·(25·x - 80/49·(49/12·x)^1.5 + 49/24·x^2 - 2.25·x)

Volumen des Drehkörpers

V = ∫ (0 bis 3) (pi·((5 - √(49/12·x))^2 - 1.5^2)) dx = A(3) - A(0) = 133/8·pi = 52.23 VE

Comments

Soll der Körper ein Loch in der Mitte haben?

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Soll der Körper ein Loch in der Mitte haben?

Ja mein Körper hätte ein Loch in der Mitte.

Aber jetzt wo du das sagst, kann das durchaus auch ohne Loch gemeint sein.

Dann kommen einfach V2 = pi·1.5^2·3 = 27/4·pi hinzu.

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Yep. Deshalb frug ich. Frog. Fragte.

Answer 2

Verschiebe die Parabel \(y=(x-5)^2\) um 1,5 Einheiten nach links: \(y=(x-3,5)^2\)

So kannst du direkt um die y-Achse drehen.

Comments

Ob man dann dasselbe Volumen erhält?

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Ob man dann dasselbe Volumen erhält?

Nein.

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Nein.

Ja. Also nein.

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Das funktioniert ja auch nicht weil der Weg da viel kleiner ist. Wenn der Abstand wie in der Aufgabe besteht hat man ja einen Zylinder runderum

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O je, das war  von mir wohl ein voreiliger Schnellschuss!

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Aber danke. Ich hatte am Anfang den gleichen Ansatz.

Answer 3

Wenn der Körper kein Loch in der Mitte haben soll:

\(\displaystyle V= \pi \int \limits_{0}^{3}\left(5-\sqrt{\frac{49 y}{12}}\right)^{2} d y=\frac{187 }{8}\pi \)