Vektorrechnung aus dem Mathe ABI der DDR

Question

Aufgabe:

a) Gegeben sind die Vektoren

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ c \end{array}\right) \text { und } \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -c \\ 1 \\ c \end{array}\right) \)

Berechnen Sie die Werte von c für den Fall, daß \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) zueinander orthogonal sind!

b) Weisen Sie nach, daß für die Funktion \( f \) mit
\( \begin{array}{l} f(x)=\sqrt{x+1} \cdot \cos 2 x \\ \text { gilt: } f(0)=2 \cdot f^{\prime}(0) ! \end{array} \quad(x \in P ; x>-1) \)

c) Wie viele Funktionen \( y=f(x)=m x+n(x \in P) \) gibt es, bei denen \( m \) und \( n \) jeweils voneinander verschiedene Primzahlen

Problem/Ansatz:

Hat jemand Lösung und Rechenweg dazu?

Answer 1

zu a) Das Skalarprodukt aus \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) muss gleich 0 sein. Daraus folgt - c - 2 + c²=0 mit der Lösung c = 2 oder c = -1.

Answer 2

Woran scheiterst du denn bei den Aufgaben?

b)

f(x) = √(x + 1)·COS(2·x)

f(0) = √(0 + 1)·COS(2·0) = √1·COS(0) = 1·1 = 1

Ableitung kannst du mit Produkt und Kettenregel bilden. Notfalls hilft ein Ableitungsrechner zur Hilfe oder Selbstkontrolle.

f'(x) = COS(2·x)/(2·√(x + 1)) - 2·√(x + 1)·SIN(2·x)

f'(0) = COS(2·0)/(2·√(0 + 1)) - 2·√(0 + 1)·SIN(2·0) = COS(0)/(2·√1) - 2·√1·SIN(0) = 1/2 - 0 = 1/2

Nun gilt also wie man unschwer erkennen kann

f(0) = 2·f'(0)

Das Ausrufezeichen lasse ich hier explizit weg. Vermutlich hattest du gedacht, man muss noch die Fakultät berechnen.

Comments

Das ist übrigens eine Abiaufgabe von 1987/88. Die Lösung findest du hier

https://www.hechtnetz.de/index.php/abitur/loesungen/loesungen-1987-88

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Die meisten Aufgaben dienen tatsächlich nur der Überprüfung. Ich dachte bloß dass es schon etwas unverschämt wäre, wenn ich einfach meine Lösungen und die Aufgabe, nach dem Motto: „Überprüft mal“, reinschicke.

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Wie gesagt findest du auf der von mir verlinkten Seite die Aufgaben und auch die Lösungen. Da brauchst du solange du das nachvollziehen kannst nicht mal eine Frage stellen.