Minimales Erzeugendensystem von Abbildungen.

Question

Aufgabe:

Für $$n \in \mathbb{Z}_{>=0}$$ sei $$f_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{Z}_{>=0}}$$ definiert durch $$f_n(i):=1+n*i \quad (i\in\mathbb{Z}_{>=0}).$$ Besitzt $$\langle f_n |n\in\mathbb{Z}_{>=0} \rangle$$ ein endliches Erzeugendensystem? Falls ja, geben Sie ein minimales Erzeugendensystem an.

Problem/Ansatz:

Wie findet man ein Erzeugendensystem von Abbildungen?

Comments

\(\langle f_n |n\in\mathbb{Z}_{>=0} \rangle\) ?

Soll das \(\langle \{f_n |n\in\mathbb{Z}_{>=0} \}\rangle\) bedeuten?

Answer 1

Was hältst Du von

$$A(i):=1 \text{  und } B(i):=i$$

und

$$f_n=1 \cdot A + n \cdot B$$

(Ich hatte zu früh abgeschickt.)

Problem: Man kann die Elemente f_n so darstellen, aber B gehört nicht zu Menge. Die angegebene Menge ist kein Unterraum.

Comments

Könntest du das noch etwas weiter erklären?

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Ist nicht \(B=f_2-f_1\), also Element der linearen Hülle der \(f_i\) ?

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Ich hätte genauer sagen müssen: B gehört nicht zur Menge der f_n.

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Dann spricht ja nichts mehr gegen dein "winziges"
Erzeugendensystem. Aber ist es auch minimal?