Wie lässt folgende Aussage mittels riemannscher Zwischensummen beweisen, dass in jedem a gilt?

Question 1

Aufgabe:

a ∈ ℕ

$ \lim\limits_{x\to\infty} $ $ \frac{1}{n^{a+1}} $ $ \sum\limits_{k=1}^{n}{k^a} $ = $ \frac{1}{a+1} $

Wie lässt folgende Aussage mittels riemannscher Zwischensummen beweisen?

Question 2

Betrachte die Funktion $f(x)=x^a$ für $x\in [0,1]$.

Zerlege das Intervall in $n$ gleichlange Teilintervalle

$[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}],\; k=1,\cdots,n$.

Nun bilde die Riemannsche Summe

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f(\frac{k}{n})\to \int_0^1f(x)dx$

Question 3

Danke für die schnelle Antwort, wie kann ich den Pfeil in der letzten Zeile verstehen?

Question 4

Der bedeutet: die Riemannsumme konvergiert gegen das Integral
für $n\rightarrow \infty$.

Question 5

Ah das wär dann das Folgenkriterium oder?

Question 6

Nein. Das hat damit gar nichts zu tun.
Es geht darum, dass das Riemann-Integral
als Limes der Riemann-Summen definiert werden kann:

Da $f$ stetig ist, ist es Riemann-integrierbar.

Question 7

Und woher kommt das 1/n nach der Summe?

Question 8

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}(\frac{k}{n})^a=\frac{1}{n}\sum \frac{k^a}{n^a}=\frac{1}{n^{a+1}}\sum k^a$$

$1/n$ ist die Breite der senkrechten Streifen,

deren Fläche also $=1/n\cdot f(k/n)$ ist.

Question 9

und für 1/a+1 muss man dann das Integral berechnen?

Question 10

Du meinst wohl 1/(a+1), oder?

Ja, $x^a$ hat als Stammfunktion $x^{a+1}/(a+1)+C$,

wie du sicher aus der Schule weißt ;-)

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