Zeigen Sie, dass U ein UVR des ℝ-Vektorraums ist

Question

Gegeben sei

U= { ( \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} \) ∈ ℂ^2x2 : b=b‾ und c=c‾ }

(b‾ = b komplex konjugiert)

Zeigen Sie, dass U ein UVR des ℝ-Vektorraums ℂ^2x2 aber kein UVR des ℂ-Vektorraums ℂ^2x2 ist.

Ich kenne die Axiome für Untervektorträume, aber wie kann ich das hier jeweils beweisen ? Hat da jemand eine Idee?

Comments

Mit welchem Axiom hast du Probleme?

Answer 1

Außer dem Vorhandensein der 0-Matrix in U (Das ist wohl klar,

weil das konjugierte von 0 die 0 ist.) brauchst du Abgeschlossenheit

gegenüber + und Multiplikation mit den Körperelementen.

Bei + ist es (unabhängig ob über ℝ oder ℂ betrachtet wird) klar;

denn es soll doch wohl heißen c=b‾ und b=c‾   ???

Beim Multiplizieren mit r∈ℝ bleibt dies erhalten, aber wenn

z.B.   b=x+iy  und c=x-iy ist, dann gilt zwar c=b‾

aber bei Multiplikation (z.B. mit i) hast du

     b ' = -y + ix   und  c' = y + ix

und das erste ist (außer für x=y=0) nicht das konjugierte

vom 2.

Comments

Danke, so ergibt das Sinn.

In der Aufgabe steht aber definitiv b=b‾ und c=c‾, eventuell ist es dann aber auch einfach ein Tippfehler.

Vielen Dank!