Wie kann ich hier die lokalen Extremstellen berechnen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich hier die lokalen Extremstellen berechnen?

Text erkannt:

15. \( f(x, y)=e^{x} \cos y \)

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}\left(e^x\cos y\right)=\binom{e^x\cos y}{-e^x\sin y}$$Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, können nur die beiden Winkelfunktionen zu Null werden:$$\sin y=0\quad\land\quad\cos y=0$$Die Nullstellen der Sinusfunktion sind alle ganzzahligen Vielfache von \(\pi\), also muss \(y=\mathbb Z\cdot\pi\) sein. Jedoch ist \(\cos(\mathbb Z\cdot\pi)\in\{-1;+1\}\), also entweder \(1\) oder \(-1\). Es gibt also kein Argument, bei dem beide Winkelfunktionen, Sinus und Cosinus, zugleich Null werden.

Daher hat die Funktion keine kritischen Punkte.

Answer 2

partielle Ableitungen

f_x=e^x * cos(y)  und f_y=-e^x*sin(y)

sind beide 0, wenn cos(y)=0 und sin(y)=0 , also niemals.

Answer 3

Die euklidische Norm des Gradienten ist

\(\|e^x(\cos(y),-\sin(y))\|_2=e^x>0\).

Folglich ist der Gradient nirgendwo der Null-Vektor.