Ist diese Matrix nilpotent?

Question

Aufgabe:

A = (aij ) eine quadratische Matrix im Körper K

Es gilt :aij = 0 für alle i, j mit i ≥ j

zu zeigen, dass die Matrix nilpotent ist und die obere Schranke des Nilpotenzindex bestimmen

Problem/Ansatz:

Reicht es anhand eines Beispiels zu zeigen oder wie lässt sich dies allgemein zeigen?

Comments

Reicht es anhand eines Beispiels zu zeigen oder wie lässt sich dies allgemein zeigen?

Es soll allgemein gezeigt werden !

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Damit ich das richtig verstehe, es handelt sich um eine Matrix wobei die obere Dreiecksmatrix, sowie die Hauptdiagonale 0 ist oder?

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Ja. Das sehe ich genauso !

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D.h. ich zeige die Aussage mit allgemeinen Einträgen für die Matrix?

Oder wie gehe ich da ran?

Answer 1

Die Matrix \(A \in \mathbb K^{n\times n}\) ist per Definition eine obere Dreiecksmatrix mit nur Nullen auf der Hauptdiagonalen.

Bezeichne \(I\in \mathbb K^{n\times n}\) die Einheitsmatrix. Dann ist \(\lambda I - A\) eine obere Dreiecksmatrix mit nur \(\lambda\) auf der Hauptdiagonalen. Somit ist das charakteristische Polynom von \(A\) $$\det (\lambda I - A) = \lambda^n$$Laut Satz von Cayley-Hamilton gilt nun \(A^n= O\) - die Nullmatrix.

Die obere Schranke für den Nilpotentindex ist dabei \(n\) - die Dimension der quadratischen Matrix.

Man kann zeigen, dass \(n\) auch erreicht wird. Dazu nimmt man die Einheitsvektoren \(e_1,\ldots , e_n\) und betrachtet die Matrix \(N= (0\:\: e_1 \cdots \:\:e_{n-1})\). Dann rechnet man schnell nach, dass \(N^{n-1} = (0\:\: \cdots 0\:\: e_1) \neq O\).

Comments

Würde es auch gehen wenn es eine untere Dreiecksmatrix ist mit Nulldiagonale ebenfalls 0?

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Ja. Geht genauso.

Answer 2

Achtung (wg Kommentar oben): \(A\) hat links unten und in der Diagonalen Nullen.

Schreib Dir mal den Fall 3x3 allgemein hin und berechne \(A^2\). Nach Def. hat \(A\) (mind.) eine Nullspalte. Beobachte, was in diesem Beispiel passiert. Formuliere eine allgemeine Vermutung und weise sie nach (ganz formal wäre mit Induktion, ist aber je nach Anspruch nicht nötig).

Comments

Also stimmt der Kommentar von oben nicht?

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Nein, stimmt nicht. Probier doch einige Beispiele von Indices aus, wo Nullen stehen, dann ist es sofort klar.

Macht aber die Aufgabe weder leichter noch schwerer.

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Ok danke, ich hab mal ein paar ausprobiert, und die Diagonale mit Werten verschiebt sich bei Multiplikation weiter nach rechts oben, was wäre nun das weitere Vorgehen mit Induktion oder ggf. anders?

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Wie lautet Deine allgemeine Vermutung (lies auch nochmal die Antwort ganz oben)?