Bestimmen der stationären Punkte:

Question

Aufgabe:

Bestimmen der stationären Punkte für globale Extrema:

f : D → R gegeben durch f(x, y, z) = 1 + 2y^2 +2xz, wobei

D = {x^2+ y^2 + z^2 ≤ 1}

Problem/Ansatz:

1. Ich verstehe nicht ganz wie das ≤ die Rechnung beeinflusst

2. Ich bin nicht ganz sicher wie man systematisch vorgehen soll, nachdem man die Werte für die Variablen bestimmt hat. Also wie man aus den unterschiedlichen Kombinationen, die stationären Punkte bestimmt.

Answer 1

Wenn Du f richtig abgeschrieben hast, ist das hier sehr einfach und es sind gar keine (ernsthaften) Umformungen nötig. Was erhältst Du denn als Lösung? Ich komme nur auf eine.

Was D betrifft, einfach mal rechnen. Dann sieht man schon, ob das eine Rolle spielt oder nicht.

Comments

Ich habe für D = {x2+ y2 + z2 ≤ 1} 5 Punkte rausbekommen.

Was das ≤ angeht, es sollte heißen, dass man nicht nur den Rand der Fläche berücksichtigt sondern auch die Punkte im inneren oder?

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Ja, genau, auf der kompletten Kreisscheibe, Inneres und Rand.

Lautet die Aufgabe wirklich "Bestimmen der stationären Punkte für globale Extrema:" Merkwürdige, verwirrende Formulierung.

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Nein,

Bestimmen Sie die globalen Extrema der Funktion, ist die Aufgabe. Ich wollte aber nur die Stationären Punkte wissen.

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Ok, es ist immer besser die Aufgabe im Original zu zitieren als die eigene Verwirrung an die Helfer weiterzugeben.

Stationäre Punkte im Innern gibt es nur einen, auf dem Rand zwei. Die Bedeutung von "stationär" ist aber dabei unterschiedlich.

Answer 2

1. Ich verstehe nicht ganz wie das ≤ die Rechnung beeinflusst

Zunächst gar nicht. Stationäre oder kritische Punkte sind die Punkte in denen alle partiellen Ableitungen erster Ordnung null werden.

Sollte es dann noch weitergehen und du sollst globale Extrema bestimmen, musst du dazu noch Radextrema berücksichtigen.

2. Ich bin nicht ganz sicher wie man systematisch vorgehen soll, nachdem man die Werte für die Variablen bestimmt hat. Also wie man aus den unterschiedlichen Kombinationen, die stationären Punkte bestimmt.

Zunächst alle partiellen Ableitungen bilden und diese gleich Null setzen. Für eine Lösung (x, y, z) müssen alle partiellen Ableitungen null werden. Es gibt hier nur eine einzige Lösung. Entweder ist die Aufgabe daher verkehrt, deine Rechnung verkehrt oder du möchtest alle Punkte berechnen an denen wenigstens eine der partiellen Ableitungen null wird.