Bestimmen Sie die maximalen Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 8 (0 Punkte)
Bestimmen Sie die maximalen Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme:
(a) \( y^{\prime}=x e^{y-x^{2}}, y(0)=0 \).
(b) \( y^{\prime}\left(x^{2}+1\right)=x y+2 x, y(0)=-1 \).
Lösung:
(a) Die rechte Seite der DGL ist gegeben durch \( x e^{-x^{2}} e^{y} \) und hat daher getrennte Variablen. Betrachte nun die Funktionen
\( \begin{array}{l} F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=\int \limits_{0}^{x} t e^{-t^{2}} d t=-\frac{1}{2} e^{-x^{2}}+\frac{1}{2}, \\ G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, G(y)=\int \limits_{0}^{y} e^{-t} d t=-e^{-y}+1 . \end{array} \)
mit \( G(\mathbb{R})=(-\infty, 1) \). Wir wählen nun \( I^{\prime} \) mit \( F\left(I^{\prime}\right)=\mathbb{R} \). Offenbar erfüllt \( I^{\prime}=\mathbb{R} \) diese Eigenschaft. Die Lösung \( \varphi \) erfüllt dann
\( \begin{array}{l} -e^{-\varphi(x)}+1=-\frac{1}{2} e^{-x^{2}}+\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \quad \varphi(x)=-\log \left(\frac{1}{2} e^{-x^{2}}+\frac{1}{2}\right) \\ \end{array} \)
(b) Die DGL lässt sich schreiben als
\( y^{\prime}=\frac{x}{x^{2}+1} y+\frac{2 x}{x^{2}+1} \)
und ist daher linear. Die Lösung der homogenen DGL ist gegeben durch
\( \varphi_{0}(x)=\exp \left(\int \limits_{0}^{x} \frac{t}{t^{2}+1} d t\right)=\exp \left(\frac{1}{2} \log \left(x^{2}+1\right)\right)=\sqrt{x^{2}+1} . \)
Die Lösung der inhomogenen DGL ist nun gegeben durch
\( \begin{aligned} \varphi(x) & =\sqrt{x^{2}+1}\left(-1+\int \limits_{0}^{x} \frac{2 t}{\left(t^{2}+1\right)^{3 / 2}} d t\right) \\ & =\sqrt{x^{2}+1}\left(-1+\left[-2\left(t^{2}+1\right)^{-1 / 2}\right]_{0}^{x}\right) \\ & =\sqrt{x^{2}+1}\left(1-\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}}\right) \\ & =\sqrt{x^{2}+1}-2 . \end{aligned} \)

Kann mir jemand die Vorgehensweise erklären? ich blicke da leider nicht durch. Und gäbe es andere Lösungsmethoden?

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Eine alternative Berechnung zu (b):$$\begin{aligned}&&xy+2x&=y^\prime(x^2+1)\\\implies&&0&=\frac{y^\prime(x^2+1)-x(y+2)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{y+2}{\sqrt{1+x^2}}\\\implies&&C&=\frac{y+2}{\sqrt{1+x^2}}\\\implies&&y&=C\sqrt{x^2+1}-2.\end{aligned}$$

Answer 1

Du kannst natürlich auch ganz normal TdV anwenden. Die Gleichung bei a) lautet

\(\frac{dy}{dx}= x e^{-x^{2}} e^{y} \) 

und umgeformt

\(e^{-y}dy= x e^{-x^{2}} dx \)

\(\int e^{-y}dy= \int x e^{-x^{2}} dx \)

\(-e^{-y}= -0,5e^{-x^{2}} +C \)

\(e^{-y}= 0,5e^{-x^{2}} -C \)                   |

Jetzt mal y(0)=0 verwenden, um das passende C zu bestimmen...

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Kannst du mir vielleicht die b) erklären?

Answer 2

Hallo,

a) Weg über Trennung der Variablen . Bringe alles mit mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere Seite. Setze dann jeweils in die Lösung des Integrals gleich die Anfangsbedingung ein.

So brauchst Du C nicht extra bestimmen.

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Danke und wie würde b) aussehen. Da verstehe ich die schritte nicht.

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Kann analog zu a gerechnet werden:

Du kannst natürlich auch den Weg über die inhomogene DGL gehen, ist aber umfangreicher:(via Lösungsformel)