Wie untersuche ich Matrizen auf Eigenschaften wie Drehung, Spiegelung und Projektion?

Question

Aufgabe:

Hey,

ich habe ein Problem, bei der Erkennung, ob eine Matrix eine Spiegelung, Drehung, Projektion oder gar nichts von all dem darstellt.

Oft wird man mit solchen Aufgaben im Multiple-Choice Teil konfrontiert. Als Beispiel habe ich nun die Matrix A=

1/2	0
0	2

gegeben und soll nun sagen ob A eine Spiegelung, Drehmatrix oder Projektion ist. (oder gar nichts von all dem)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass für eine Projektion P²= P gelten muss,

Für eine Spiegelung S² = E, S=2P-E

Jedoch ist es mir unklar, wie ich damit auf ein schnelles Ergebnis bzw. überhaupt auf ein Ergebnis kommen soll.

Answer 1

Aloha :)

Für einen ersten Eindruck kannst du dir überlegen, was die Matrix mit den kanonischen Basisvektoren macht:$$A\cdot\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}\frac12 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\binom{1}{0}=\binom{\frac12}{0}\implies A^n\binom{1}{0}=\binom{\frac{1}{2^n}}{0}$$$$A\cdot\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}\frac12 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\binom{0}{1}=\binom{0}{2}\implies A^n\binom{0}{1}=\binom{0}{2^n}$$

Die Matrix führt also in \(x_1\)-Richtung eine Skalierung mit dem Faktor \(\frac12\) durch und in \(x_2\)-Richtung eine Skalierung mit dem Faktor \(2\).

Es wird nicht gedreht, nicht gespiegelt und auch nicht projeziert.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Wie müssten aber die Ergebnisse aussehen, damit die Matrix eine der Eigenschaften besitzt?

Answer 2

Hallo,

Wie müssten aber die Ergebnisse aussehen, damit die Matrix eine der Eigenschaften besitzt?

schnitz' Dir doch welche! Nehmen wir z.B. $$\begin{pmatrix}0,5& -0,5\sqrt{3}\\ 0,5\sqrt{3}& 0,5\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0,5& -0,866025404\\ 0,866025404& 0,5\end{pmatrix} $$Das Skalarprodukt der beiden Spaltenvektoren ist \(=0\). Das sieht man auch ohne es auszurechnen.

Die Determinante der Matrix ist \(=1\). Dann kann es nur eine Drehung sein. In diesem Fall um 60°.

Wäre die Determinante \(\det=-1\) so wie hier$$\begin{pmatrix}-0,5& 0,5\sqrt{3}\\ 0,5\sqrt{3}& 0,5\end{pmatrix}$$dann ist es eine Spiegelung. Bei immer noch orthogonal auf einander stehenden Spaltenvektoren.

Die Determinante einer Projektionsmatrix$$\det\left|\begin{pmatrix}0.8& -0.4\\ -0.4& 0.2\end{pmatrix}\right|=0$$ist 0. Kann man z.B. auch dadurch sehen, dass einer der Spaltenvektoren ein Vielfaches des anderen ist (hier das \(-0,5\)-fache).

Dreh- und Projektionsmatrizen müssen auch noch symmetrisch sein.

Siehe auch Orthogonale Matrizen.

Oben gesagtes betrifft reine Drehungen und Spiegelungen. Natürlich sind auch Kombinationen möglich. Ist die Determinate \(\lt 0\) hat die Matrix immer eine spiegelnde Komponente.

Gruß Werner