Allgemeiner Beweis für x/y + y/x > 2

Question

x/y   +   y/x    >  2

Ein einfacher beweis genügt , aber wie mache ich das ?

Mein ansatz   x/y   +   y/x    =   (x^2 + y^2)   /  (xy)   aber dann kommt ein Widerspruch raus ?

Bitte um eure Hilfe

Comments

Wenn ,dann x/y + y/x >= 2, denn für x = y = 1 ist x/y + y/x = 2 nicht größer 2. Und für x,y aus R gilt es auch nicht, denn für x = -2, y = 3 ist -2/3 + 3/-2 < 0

Answer 1

Wir müssen den Fall x=y ausschließen. Ebenso den fall xy

Comments

Meinst du den Fall xy=0?

---

Offenbar hat das System hier (mal wieder) meinen beitrag gefressen. Ich habe aber keine Lust den nochmal einzutippen.

---

Außerdem dürfen ja x und y nicht unterschiedliche Vorzeichen haben. D.h. wir können das alles zusammenfassen: Der Fall \(xy|y-x|\leq 0\) muss ausgeschlossen werden.

Sieht etwas komplizierter aus, müsste aber stimmen, oder? ;-)

---

Sieht gut aus.

---

"Offenbar hat das System hier (mal wieder) meinen beitrag gefressen."

Hallo tatmas, das sollte nicht am System liegen. Welchen Browser benutzt du und wie stabil ist deine Internetverbindung?

---

Test: < oder > schaun'mer mal ob's übernommen wird. Es liegt scheinbar an meinen Proxy. Da wird allles nach < rausgeschmissen.

Answer 2

Hi,

ich vermute mal x,y > 0?! ;)

 

(x^2+y^2)/xy > 2

x^2+y^2 > 2xy    |-2xy

x^2-2xy+y^2 > 0

(x-y)^2 > 0

 

Das ist offensichtlich wahr (solange x≠y, ansonsten muss es (x^2+y^2)/xy ≥ 2 heißen ;))

Grüße

Answer 3

 hier meine Version :

  x / y  +  y / x > 2  | Erweitern, auf einen Nenner bringen
  x^2 /( xy) + y^2 / (xy) > 2
  ( x^2 + y^2 ) / ( x * y ) > 2
  Im Zähler steht immer etwas positives.
Im Nenner steht bei einer positiven und einer negativen Variablen
etwas negatives, also ist der ganze Bruch negativ und somit < 0

mfg Georg