Wie viele geordnete Zerlegungen in 4 von Null verschiedene Summanden von 37 gibt es?

Question

Aufgabe:

Wie viele geordnete Zerlegungen in 4 von Null verschiedene Summanden von 37 gibt es?
Geordnete Zerlegung“ bedeute hier, dass z.B. die
Darstellung 20+10+4+3 verschieden ist von 10+4+20+3.

Hat hier jemand eine Idee ?

LG

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Stern-und-Strich-Prinzip

https://de.jberries.com/artikel/spezielle-abz%C3%A4hlprobleme-kombinationen-mit-wiederholungen-und-die-beweismethode-stars-and-bars-145/#die_beweismethode_quotstars_and_barsquot

Answer 1

Hallo unter "geordneten " Zerlegungen würde ich nur deine 2 te Version verstehen, also jede gefragte Zerlegung wird geordnet und ur dere nAnzahl bestimmt.

lul

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Es gibt von jeder Zerlegung 4! = 24 Reihenfolgen. So verstehe ich es.

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Das ist sicher falsch, denn die Summanden müssen ja nicht verschieden sein.

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Wie viele geordnete Zerlegungen in 4 von Null
verschiedene Summanden von 37 gibt es?

Warum nimmt er als Beispiel 4 verschiedene und sagt nicht, dass es die Summanden auch mehrfach vorkommen dürfen?

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Weil er davon ausgeht, dass jeder die Aufgabe lesen kann.

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Richtig, also 4! * die Anzahl der möglichen Summen aus 4 summanden. Die frage ist nur noch, wie viele es davon gibt

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Nudger hat doch schon erklärt, dass die Idee mit 4! falsch ist!?

Warum liest Du nicht den Link von simple.mind?

Answer 2

Ich würde eine geordnete Zerlegung in aufsteigender oder auch abfallender Zahlengröße sehen:

\(1+2+3+31=37\)

\(1+2+4+30=37\)

\(1+2+5+29=37\)

\(1+2+6+28=37\)

......

\(1+2+16+18=37\)

_________________

\(1+3+4+29=37\)

\(1+3+5+28=37\)

\(1+3+6+27=37\)

......

\(1+3+16+17=37\)

usw

Wie viele Möglichkeiten es nun damit gibt weiß ich nicht.

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Und da fehlen auch einige, z.B. 1+1+1+34=37.

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Ohja, danke. Ist korrigiert.

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Ich habe es so verstanden, dass die einzelnen Summanden verschiedene Größe haben müssen.

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Woraus liest Du das? Das steht da nicht. Und die übliche Konvention ist, dass nicht erwähnte Voraussetzungen auch keine Voraussetzungen sind.

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OK, dann gibt es noch eine Menge zusätzlicher Lösungen.

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Das sind ja dann echt viele...

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Werden hier jetzt neuerdings Antworten geschrieben, die lediglich die Aufgabe noch einmal erläutern (und dann eher falsch verstanden werden)? Wird ja immer besser hier...

Answer 3

Stelle dir eine Reihe mit \(n\) Punkten vor, die deine Zahl repräsentiert. Jetzt zerlege diese Reihe von Punkten mit Hilfe von \(k-1\) Strichen in \(k\) Bereiche. Das nennt man dann eine Partition dieser Zahl.

Überlege dir jetzt, wie viele Möglichkeiten es gibt, diese \(k-1\) Striche unter den \(n\) Punkten zu setzen.

Tipp: Denk an den Binomialkoeffizienten.

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Das macht sehr viel sinn.
Die Reihenfolge ist ja im Binomialkoeffizient enthalten oder?Nehmen wir an, ich habe in k Bereiche geteilt, dann habe ich doch auch k! verschiedene Möglichkeiten, diese Bereiche anzuordnen.

Und wäre das dann (n+k-1 über k-1) ?

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Warum denn \(n+k-1\)? Aus wie vielen Zwischenstellen wählst du denn? Die verschiedenen Reihenfolgen werden dadurch berücksichtigt, dass durch diese Vorgehensweise sämtliche Zerlegungen möglich sind, weil die Striche an anderer Stelle sind, auch wenn die Summanden dieselben sind. Also ist 10+10+10+7 tatsächlich eine andere Zerlegung 7+10+10+10.

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Sorry ich meinte
n-1 über k-1
da wir k-1 trennstriche brauchen aus n-1 zahlen (da 37 nicht getrennt werden kann)

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Gut, dann passt das so.

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aus n-1 zahlen (da 37 nicht getrennt werden kann)

Hier wäre es besser zu sagen, dass wir nur \(n-1\) mögliche Trennstriche haben. Damit wir berücksichtigt, dass die Summanden auch von Null verschieden sind, da am Rand kein Strich sein darf und natürlich keine zwei Striche nebeneinander.

Answer 4

Wie viele geordnete Zerlegungen in 4 von Null verschiedene Summanden von 5 gibt es?

(1 + a) + (1 + b) + (1 + c) + (1 + d) = 37 und
a + b + c + d = 33

Und damit

(n + k - 1 über k) = (4 + 33 - 1 über 33) = (36 über 33) = (36 über 3) = 36 * 35 * 34 / 6 = 7140 Zerlegungen

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Das würde ich nochmal nachrechnen.

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Das würde ich nochmal nachrechnen.

Ja danke. Hab ich gemacht. Jetzt sollte es stimmen.

Answer 5

Aloha :)

Ein kleines Python-Skript

n = 0
for a in range(1,38):
  for b in range(1,38-a):
      for c in range(1,38-a-b):
          for d in range(1,38-a-b-c):
              if a+b+c+d==37:
                  n+=1
print(n)

liefert uns \(n=7140\) Lösungen.