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Faktorisiere:

(x + 1)·(x + 2)·(x + 3)·(x + 4) - 3


Ich habe es ausmultipliziert

= x^4 + 10·x^3 + 35·x^2 + 50·x + 21

Da ich keine rationalen Nullstellen gefunden habe, habe ich folgenden Ansatz benutzt.

= (x^2 + a·x + b)·(x^2 + c·x + d)

Damit bin ich auf folgende Faktorisierung gekommen

= (x^2 + 5·x + 3)·(x^2 + 5·x + 7)

Dass man das jetzt noch weiter zerlegen kann, sei mal geschenkt.

Die Frage ist, ob es nicht einen einfacheren Ansatz gibt?

Avatar vor von 492 k 🚀

Hab schon selber gerade einen Weg gefunden.

(x + 1)·(x + 2)·(x + 3)·(x + 4) - 3

= (x + 1)·(x + 4)·(x + 2)·(x + 3) - 3

= (x^2 + 5·x + 4)·(x^2 + 5·x + 6) - 3

= (x^2 + 5·x)^2 + 10·(x^2 + 5·x) + 24 - 3

= (x^2 + 5·x)^2 + 10·(x^2 + 5·x) + 21

= z^2 + 10·z + 21

= (z + 3)·(z + 7)

= (x^2 + 5·x + 3)·(x^2 + 5·x + 7)

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Hier ist noch ein Weg über das Faktorisieren einer biquadratischen Gleichung:

Das Produkt \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) ist symmetrisch um \(\frac 52\). Setze also$$x=y-\frac 52 \Rightarrow$$$$(x + 1)·(x + 2)·(x + 3)·(x + 4) - 3 \stackrel{x=y-\frac 52}{=} \left(y^2-\frac 94\right)\left(y^2-\frac 14\right)-3 $$$$= y^4-\frac 52 y^2-\frac{39}{16}=\left(y^2-\frac 54\right)^2-4$$$$= \left(y^2-\frac{13}4 \right)\left(y^2+\frac{3}4 \right) \stackrel{y=x+\frac 52}{=}(x^2+5x+3)(x^2+5x+7)$$

Ich gebe zu, das sieht auch nicht wirklich elegant aus.

Avatar vor von 12 k

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