Berechnung von Eigenvektoren. Welche Lösungsmenge ist die richtige?

Question

Folgendes Problem beschäftigt mich:

Sei die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \) gegeben. Die Eigenwerte dieser Matrix sind \( λ_1 = -2 \) und \( λ_2 = 6 \). Die Gleichungssysteme für \( λ_1 \) sind also:

I) 3x + 5y = 0 
II) 3x + 5y = 0

Wieso entscheide ich mich für die Lösung x=-5 und y=3 und nicht für x=5 und y=-3 OHNE vorher zu wissen, dass erstere Lösung ein Eigenvektor ist und zweitere nicht?

:)

Answer 1

Sowohl [-5, 3] als auch [5, -3] sind Eigenvektoren zum Eigenwert -2.

Es gilt:

3x + 5y = 0
5y = -3x
y = -3/5*x

Damit sind alle Vektoren der Form [x, -3/5*x] Eigenvektoren.