Kurvendiskussion: f(x) = e^{- x^3/3 - x^2/2 + 2·x}

Question

Hallo Ihr Lieben.

Es wäre toll, wenn mir einer bei dieser Aufgabe weiter helfen kann.Vielen Dank schon mal.

Wir betrachten die Funktion f : R->R,
f (x) = e^{- x^3/3 - x^2/2 + 2·x}

a:) Untersuchen Sie f auf Symmetrie.

b:) Berechnen Sie f´ und untersuchen Sie f auf Monotonie und lokale Extremstellen.

c:) Bestimmen Sie die (exakten) Funktionswerte in allen lokalen Extremstellen

Comments

Sieht doch so besser aus?

Answer 1

f(x) = e^{- x^3/3 - x^2/2 + 2·x}

warum sollte es hier eine Symmetrie geben ?

f(-1) = 1/e^{13/6}

f(1) = e^{7/6}

--> Keine Symmetrie

Extremstellen f'(x) = 0

- e^{- x^3/3 - x^2/2 + 2·x}·(x^2 + x - 2) = 0
x^2 + x - 2 = 0
x = -2 ∨ x = 1

f(-2) = 0.03567399334 --> Tiefpunkt

f(1) = 3.211270543 --> Hochpunkt

PS: eigentlich würde es langen den Exponenten zu untersuchen. Ich habe die Innere Funktion hier mal gestrichelt dargestellt.

Comments

Naja gut die ganze Lösung hinschreiben geht natürlich auch :)

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Vielen Dank für die schnelle antwort

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Zunächst habe ich Zwischenrechnungen hier weggelassen. D.h. für den Fragesteller ist es noch genug Arbeit die zu machen.
Weiterhin minimiere ich so das Risiko durch lästige Nachfragen ob die Lösung dann so richtig ist, wenn ich nur Tipps zur Lösung gebe. Wenn ich genug Zeit habe und mit Nachfragen leben kann dann gebe ich aber auch oft nur Tipps.

Answer 2

Für Symmetrie:

Achsensymmetrie: f(x)=f(-x) y-Achse

f(x)=-f(x) x-Achse

Punktsymmetrie : f(x)=-f(-x)

Stimmt eine der Gleichungen----> Entsprechende Symmetrie.

Ansonsten gibs noch die Regel, wenn es ungerade und gerade Exponenten von x gibt, dann hat es keine Symmetrie.

Bin mir aber nicht sicher obs für Euler gilt.

b)

Ableiten wöre schonmal ein Anfang. Benutzte die Kettenregel für den Euler.

Notwendig für Extremstellen f'(x)=0 Werte für x ausrechnen.

Hinreichend für Extremstellen f''(t) ungleich Null. Wobei t hier deine Extremstellen sein soll.

Ist f''(t)>0 Tiefpunkt f''(t)<0 Hochpunkt!

Für die Monotonie musst du festellen, ob es an deinen Extremstellen einen Vorzeichenwechsel gibt.

c) Hier sollst du die Funktionswerte berechnen. Nimm dir also die Werte der Extremstellen, und setzte sie in deine

Ursprungsfunktion ein. Dann hast du y=....

Das ist dein Lösungsshema weitesgehend.

Comments

"Ansonsten gibs noch die Regel, wenn es ungerade und gerade Exponenten von x gibt, dann hat es keine Symmetrie. Bin mir aber nicht sicher obs für Euler gilt."

Ja das gilt auch wenn du nur die e-Funktion mit einem Polynom im Exponenten hast. Die e-Funktion ist ja bijektiv und somit eindeutig umkehrbar.

Answer 3

f ( x ) = exp ( - x³/3 - x²/2 + 2x)

a) Untersuchen sie f auf Symmetrie.
f ( -x ) = exp ( - (-x)³/3 - (-x)²/2 + 2(-x) )
f ( -x ) = exp ( x³/3 - x²/2  -  2x )  ≠ f ( x)
- f ( -x ) = - exp ( x³/3 - x²/2  -  2x )  ≠ f ( x)
keine Symmetrie gegeben

b) Berechne sie die erste Ableitung von f und untersuchen
sie f auf Monotonie und lokalen Extremstellen.
term =  - x³/3 - x²/2 + 2x
term ´= -x^2 - x + 2
Allgemein
[ e^{term} ] ´ = e^{term} * term ´
f ( x ) = exp ( - x³/3 - x²/2 + 2x)  *  ( -x^2 - x + 2 )
Stellen mit waagerechter Tangente
-x^2 - x + 2  = 0  | * (-1)
x^2 + x - 2 = 0
x^2 + x + (1/2)^2 = 2 + 1/4
( x + 1/2)^2 =9/4
x + 1/2 = ± 3/2
x = 1
x = -2
Monotonie > 0
 -x^2 - x + 2 > 0  | * (-1)
x^2 + x -2 < 0
x^2 + x + (1/2)^2 < 2 + 1/4
( x + 1/2)^2 < 9/4
x < 1
x > -2
Monotonie
x < -2  fallend
x = -2 Extrempunkt ( Tiefpunkt )
-2 < x < 1 steigend
x = 1 Extrempunkt ( Hochpunkt )
x > 1 fallend

c) Bestimmen sie die (exakten) Funktionswerte in
allen lokalen Extremstellen.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Answer 4

zu a) f(-x) bilden und prüfen ob entweder f(-x) = -f(x) (Punktsymmetrie) oder f(-x) = f(x) (Achsensymmetrie) ist.

-> f(-x) = exp(x³/3 - x²/2 - 2x)

-> f(-x) ≠ -f(x) und f(-x) ≠ f(x) -> weder punkt- noch achsensymmetrisch

zu b) 1. Ableitung nach Kettenregel (äußere Funktion: exp, innere Funktion: -x³/3 - x²/2  + 2x)

f'(x) = exp(-x³/3 - x²/2 +2x)*(-x² - x + 2)

Notwendiges Kriterium für Extrema f'(x) = 0

-> f'(x) = exp(-x³/3 - x²/2 + 2x)*(-x² - x - 2) = 0 -> (-x² - x + 2) = 0 -> x_E1 = 1 und x_E2 = -2

Hinreichendes Kriterium für Extrema f''(x) ≠ 0

Den Hergang (Kettenregel und Produktregel) der 2. Ableitung erspare ich mir hier und schreibe gleich mein Ergebnis hin:

f''(x) = (x⁴ + 2x³ - 3x² - 6x + 3)*exp(-x³/3 - x²/2 + 2x)

f''(x_E1 = 1) = (1⁴ + 2³ - 3² - 6 + 3)*exp(-1³/3 - 1²/2 + 2) < 0 -> Maximum bei x_E1 = 1 -> P_Max(1|f(1)|

f''(x_E1 = -2) = ((-2)⁴ + 2*(-2)³ - 3*(-2)² - 6*(-2) + 3)*exp(-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2*(-2))  > 0 -> Minimum bei x_E2 = -2 -> P_Min(1|f(-2)|

Monotonieverhalten:

Wir wissen, dass bei x = -2 ein Minimum und bei x = 1 ein Maximum vorliegt.

Vor einem Minimum ist eine Funktion monoton fallend (f''(x) < 0) und nach dem Minimum ist eine Funktion monoton steigend (f''(x) > 0)

-> f(x) ist monoton fallend im Intervall { -oo < x < -2 } und

->  f(x) ist monoton steigend im Intervall { -2 < x < 1 }

Vor einem Maximum ist eine Funktion monoton steigend (f''(x) > 0) und nach dem Maximum ist eine Funktion monoton fallend (f''(x) < 0)

-> f(x) ist monoton steigend im Intervall { -2 < x < 1 } und

->  f(x) ist monoton fallend im Intervall { 1 < x < oo }

zu c) P_Max(1|f(1)| und P_Min(1|f(-2)|

Ferner hat die Funktion noch Wendestellen, aber ich glaube, die sind nicht gefragt. Zudem liegen Sattelpunkte nicht vor.