Beweise: Wenn zwei Punkte ungleich null, dann Produkt der Punkte auch ungleich null

Question

wenn (a,b)≠(0,0) und (a',b')≠(0,0), dann (aa'-bb',ab'+a'b)≠(0,0).

Danke.

Answer 1

Angenommen es wären  (a,b)≠(0,0) und (a',b')≠(0,0)   #
 und (aa'-bb',ab'+a'b)=(0,0)
⇒  aa' = bb'     und   ab' = a'b
⇒  aa' -   ab' = bb' - a'b   
⇒  a(a' - b') = b(b' - a')    
⇒  (a - b ) (a' +b') = 0
⇒  a = b          oder   a' =b' 

1. Fall   a=b  Dann wird (aa'-bb',ab'+a'b)=(0,0)
                         zu   (aa'-ab',ab'+a'a)=(0,0)
                               (a*(a'-b'),a*(b'+a'))=(0,0)
                             ⇒  a=0  oder   [ (a' - b' )= 0  und   (a' +b') = 0 ]
                         Falls a=0 ist (zusammen mit der Fallannahme auch b=0)
                        und damit (a,b)=0   im Widerspruch zu #.
                       Falls   (a' - b' )= 0  und   (a' +b') = 0 liefert Addition dieser
                        Gleichungen   2a' = 0 also a ' = 0 und wegen   (a' - b' )= 0 also
                        auch b ' = 0 im Widerspruch zu #.
2. Fall a ' = b ' geht analog.


                             

Comments

mathef, ich finde Deine Umformung (aa'-bb',ab'+a'b)=(0,0) ⇒  aa' = bb'     und   ab' = a'b ist falsch.

Answer 2

Hi,
unter der Annahme \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \ne 0 \) und \( \begin{pmatrix} a'\\b' \end{pmatrix} \ne 0 \) nehme man an das gilt \( \begin{pmatrix} aa'-bb'\\ab'+a'b \end{pmatrix} = 0 \)
Also gilt
$$ (1) \quad aa' = bb'  $$ und
$$ (2) \quad ab' = -a'b $$
Wegen der Voraussetzung gilt entweder \( a \ne 0 \) oder \( b \ne 0 \). Nehmen wir erstmal \( a \ne 0 \) an, dann folgt aus (1)
$$ a' = \frac{b}{a}b'  $$ und damit aus (2) durch einsetzen
$$  ab' + \frac{b}{a}b'b = b'\left( \frac{a^2 + b^2}{a} \right) = 0 $$ Da \( a \ne 0 \) gilt ist auch \( a^2 +b^2 \ne 0 \) und es folgt \( b' = 0  \) und damit aus (1) auch \( a' = 0 \) im Gegensatz zur Annahme.
Für \( b \ne 0 \) geht der Beweis genauso.