Beweis für geometrische Reihen (Produktformel)

Question

Aufgabe:

\( q \in \mathfrak{R}, \quad q \neq 1 \).

Zeige dass für alle \( n \in \mathrm{N} 0 \) gilt:

\( \prod \limits_{k=0}^{n-1}\left(1+q^{\left(2^{k}\right)}\right)=\frac{q^{\left(2^{k}\right)}-1}{q-1}=\sum \limits_{k=0}^{2^{n}-1} q^{k} \)

Comments

Nur um hier mal mit dem Missverständnis aufzuräumen:

Der Induktionsanfang kann bei \(n=0\) beginnen.

Auf der linken Seite ergibt sich das leere Produkt, welches per Definition 1 ist. Auf der rechten Seite haben wir eine Summe mit nur einem Summanden und zwar für den Fall \(k=0\).

Answer 1

Ich würde die Produkt und die Summenformel getrennt versuchen mit der Vollständigen Induktion zu beweisen.

Induktionsanfang: n =1

Π (k = 0 bis 1 - 1) (1 + q^{2^k}) = (q^{2^1} - 1) / (q - 1)

1 + q^{2^0} = (q^{2^1} - 1) / (q - 1)

1 + q = (q^2 - 1) / (q - 1)

1 + q = (q + 1)·(q - 1)/(q - 1)

1 + q = q + 1

wahr

Comments

Danke, ich hab den Induktionsanfang schon mit n=0 gemacht, aber ich glaube die wollen n -> n+1 bewiesen haben... ich hab keine Ahnung wie man das machen könnte :-/

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Du darfst doch gar nicht für n = 0 einsetzen. Dann hast du doch eine Summe von 0 bis -1 ?

Beim Induktionsschritt setzt du in die Formel die du beweisen sollst für n einfach n + 1 ein. Die linke Seite zerteilst du dann in das Produkt bis n - 1 und den Faktor für n.

Dann darfst du Die Gültigkeit für n voraussetzen.

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Das könnte dann für die Produktformel wie folgt aussehen. Für die Summenformel müsstest du es dann noch genau so nachweisen.

Induktionsanfang: \( n=1 \)
\( \begin{array}{l} \Pi(k=0 b i s 1-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 1\right)-1\right) /(q-1) \\ 1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 0\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} 1\right)-1\right) /(q-1) \\ 1+q=\left(q^{\wedge} 2-1\right) /(q-1) \\ 1+q=(q+1) \cdot(q-1) /(q-1) \\ 1+q=q+1 \end{array} \)

wahr

Induktionsschritt: \( n \rightarrow n+1 \)
\( \Pi(k=0 \) bis \( (n+1)-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) \) \( \Pi(k=0 b i s n)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) \) \( \Pi(k=0 b i s n-1)\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} k\right)\right)^{*}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) \) \( \left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1\right) /(q-1)^{\star}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=\left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1\right) /(q-1) \) \( \left(q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1\right)^{\star}\left(1+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 \) \( q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)+q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)^{*} q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1-q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 \) \( q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)^{*} q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n\right)-1=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 \) \( q^{\wedge}\left(2^{\wedge} n+2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 \) \( q^{\wedge}\left(2^{*} 2^{\wedge} n\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)-1 \) \( q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(n+1)\right)=q^{\wedge}\left(2^{\wedge}(h+1)\right)-1 \)

wahr

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Wahnsinn, danke dir :) also n=0 geht, nach Konvention wird wenn die Laufvariable > Endwert in der Produktformel ist, das Ergebnis=1.

In deinem Ergebnis hast du vergessen das (-1) auf der rechten Seite wegzulassen, aber kein Problem... Weißt du zufällig auch wie man die rechte Seite beweisst also

(q^{2^n}-1)/(q-1)=Sigma(k=0 bis 2^n-1)=q^k für n -> n+1?

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Danke. Ja ich habe vergessen auf der rechten Seite auch die -1 wegzunehmen.

Der rechte Teil sollte noch einfacher sein.

Substituiere z = 2^n

und dann beweise die allgemeine geometrische Summenformel

z.B. https://www.mathelounge.de/167381/summenformel-geometrische-vollstandiger-induktion-beweisen

Die wurde hier auf der Seite aber mehrfach vorgerechnet weshalb ich hier darauf verzichte.

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Ich hab's mal probiert, aber weiß nicht ob das stimmt:

∑(k=0 bis (2^n)-1) (q^k)  n->n+1=(q^{2^n}-1)/(q-1)

n->n+1

∑(k=0 bis 2^{n+1}-1) (q^k) = (q^{2^{n+1}}-1)/(q-1)

Substitution mit z=2^{n+1}

∑(k=0 bis z-1) (q^k) = (q^z-1)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (q^k - q^z) = (q^z-1)/(q-1)   /+q^z

∑(k=0 bis z) (q^k) = (q^z-1)/(q-1) + q^z(q-1)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (q^k) = (q^z-1+q^{z+1}-q^z)/(q-1)

∑(k=0 bis z) (q^k) = (q^{z+1}-1)/(q-1)

Rücksubstitution: z= 2^{n+1}

∑(k=0 bis 2^{n+1}) (q^k) = (q^{2^{n+1}+1}-1)/(q-1)

Stimmt das so, oder hab ich was falsch gemacht? Ich komme da mit 2^{n+1}+1 durcheinander... :)

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Sorry, Klammer vergessen, raus kommt bei mir:

∑(k=0 bis 2ⁿ⁺¹) (q^k) = (q^{2^{n+1}+1})-1)/(q-1)

Kann das stimmen?