Seien f,g : R2 →R zwei C2-Funktionen und ~v : R3 →R ein C2-Vektorfeld. Man zeige die folgenden Identit¨aten

Question

Mir ist echt unklar wie ich das hier lösen soll. ? es geht um leben und tod (ok nicht um tod, aber trotzdem)

Comments

Schau dir mal die Definitionen von Divergenz, Gradient und Kreuzprodukt an. Die müssen bekannt sein.

---

ja klar, also: Gradient : 
               (Fx/dx)
grad(f) = (Fy/dy)

Divergenz: x/dx + y/dy + z/dz

Kreuz produkt: x      u       y*p - w*z
                        y  x  w = -(w*p - u*z)
                        z      p       x*p - z*z

Das ist mir alles klar, aber ich weiß nicht was ich schreiben soll. mir wurde doch keine funktion gegeben.

---

Also für $f,g\in C^2(\mathbb{R^2})$ gilt:
$$\text{grad }f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})^T$$

und

$$\text{grad }g = (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y})^T$$

Berechne zunächst mal $\text{grad }f \times \text{grad }g$. Die Vektoren stehen ja oben.

---

Meinst du so??:

div[grad(f) x grad(g)]

div[(df/dx; df/dy; o)^T x (dg/dx; dg/dy; o)^T]

div [0; 0; df/dx * dg/dy - dg/dx*df/dy]^T

Answer 1

Hi, ich hab da mal eine grundsätzliche Frage. Das Kreuzprodukt ist im $\mathbb{R^3}$ definiert und nicht im $\mathbb{R^2}$ Die Gradienten von $f \text{ und } g$ sind aber Vektoren im $\mathbb{R^2}$ nach Aufgabenstellung und Du sollst davon das Kreuzprodukt bilden?

Das nächste ist, das Vektorfeld $\vec v$ ist, das es als Abbildung $\mathbb{R^3} \to \mathbb{R}$ definiert ist, kein Vektorfeld sondern eine skalare Funktion.

Also da gibt es einiges in der Aufgabenstellung das nicht ok sind.

Meiner Meinung nach richtig wäre $f,g : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}$ und $\vec v : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}$

Dann gelten auch die genannten Formeln.

Comments

Vielleicht macht man das kreuzprodukt in 2D als: (X;Y;0) X (A;B;0)

---

ja, ich habe recht: das kreuz produkt in 2D nimmt 0 als Z element.

---

Und was ist mit $\vec v$ ?

---

V ist in 3 dimenzionen also V= (Vx;Vy;Vz)

Ich habe es berechnet, ja es geht. du nimmst einfach als grad fur f und g - grad(f)= (df/dx; df/dy; 0)

---

Hi, unter den Annahmen die ich vorher geschrieben habe gilt zu (a),
$\nabla f \times \nabla g = \begin{pmatrix} f_yg_z-f_zg_y \\ -f_xg_z+f_zg_x) \\f_xg_y-f_yg_x \end{pmatrix}$
Deshab gilt
$$\text{div}(\nabla f \times \nabla g) = f_{yx}g_z+f_yg_{zx}-f_{zx}g_y-f_zg_{yx}-f_{xy}g_z-f_xg_{zy}+f_{zy}g_x+f_zg_{xy}+f_{xz}g_y+f_xg_{yz}-f_{yz}g_x-f_yg_{xz} = 0$$

zu (b)
$$\text{div}(f \cdot \vec v) = \text{div} \begin{pmatrix} f \cdot v_1 \\ f \cdot v_2 \\ f \cdot v_3 \end{pmatrix} = f_xv_1+fv_{1_x}+f_yv_2+fv_{2_y}+f_zv_3+fv_{3_z} = f\cdot \text{div}(v)+\vec v \cdot \nabla f$$

---

Habe ich schon :D trotzdem danke :D :D