Eine Betragsfunktion nach ihren X-Werten auflösen

Question

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.  Wir sollen eine Betragsfunktion:

|x-3| + 1/x + |x+3| > 0

Ich habe die Beträge versucht nach null umzuformen, sprich die 3 Fälle: x<=-3, -3<=x<=3 und x>=3.

und die Fälle in die Gleichung umgesetzt. Mir ist es klar das wenn ein Betrag negative ist, mein Betrag= -(x-+a) ist.

Aber das 1/x in der Gleichung kann ich nicht auflösen, dass für X sinnvolle Werte rauskommen..

Answer 1

|x-3| + 1/x + |x+3| > 0

z.B. für x>3:

x-3 + 1/x + x+3 >0

2x + 1/x >0

(2x²) / x  + 1/x > 0

(2x²+1) / x >0

Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben.

Da der Zähler immer positiv ist -> x >0 und x>3 [Fallbedingung!]

Also 1, Teillösungsmene = [ 3 ; ∞ [ 

----------------

-3<=x<=3  wegen x≠0 hier 2 Fälle. -3 ≤ x < 0 bzw. 0 < x ≤ 3

4.Fall x<-3, aber das hattest du ja schon

Comments

Wenn ich jeden Fall bearbeite:

x<=-3        --> L=(-∞ , -3]

-3>=x>0      --> L= (-∞  , -1] , wobei auch x=-0,5 die Gleichung > 0 lösen würde.. ich aber die Zahl -1 gewählt habe, da diese ja offensichtlich zwischen -3 und 0 liegt.. 

0<x<3        --> L= [x>0, ∞ ) 

Was ist denn dann die Lösungsmenge der vier Fälle zusammen?

Und in dem Fall den du mir erläutert hast, ist es denn richtig dort zu schreiben das [3 ; ∞ [ ist? Denn 0<x<=3 ergeben alles Gleichungen > 0? Muss man diese nicht auch erwähnen? 

Ich kenne mich in der genauen Schreibweise nicht aus, da wir das Thema nicht richtig erläutert bekommen haben. 

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Man muss nur die nicht erwähnen wo der Betragsterm ≤ 0 ist.

Das ist nur innerhalb von [-3:0[ im Teilintervall [ -1/6 ; 0 [  der Fall.

L = ℝ \  [ -1/6 ; 0]

Answer 2

bearbeite die vier Fälle

1. Fall: x>3 ist beantwortet

2.Fall: 0<x<gleich3

3. Fall: -3<x<0

4. Fall: x<gleich-3