Reihenwert von Reihe ermitteln

Question

habe ein kleines Problem mit folgenden Aufgaben:

1) Zu ermitteln ist, ob die Reihe konvergiert und der Reihenwert;

$$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ n+2 } }{ { 3 }^{ n } }  }   $$

nach dem Quotientenkriterium  konvergiert sie.

Bzgl. des Reihenwertes haben wir den Tipp bekommen, dass man die geometrische Reihe anwenden könnte

Als erstes habe ich eine Indexverschiebung gemacht mit:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty-2  }{ \frac { { 2 }^{ n+4 } }{ { 3 }^{ n+2 } }  }  $$

Die Reihe oben ist dann nach der geometrischen Reihe:

$$ \frac { \frac { { -1+(2) }^{ n+1 } }{ 2-1 }  }{ \frac { { -1+(3) }^{ n+1 } }{ 3-1 }  }  $$

= $$ { [-1+(2) }^{ n+1 }]*\frac { 2 }{ { -1+(3) }^{ n+1 } }  $$

= $$ \frac { -2+{ 2 }^{ n+2 } }{ -1+{ 3 }^{ n+1 } }  $$

Mein Problem ist jetzt, wie ich weiter rechnen muss, um auf den Reihenwert zu kommen

Danke für alle Antworten

Gruß

Answer 1

Nach der Indexverschiebung kannst Du wie folgt weiter rechnen.
$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n+4}}{3^{n+2}} = \frac{2^4}{3^2}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n $$
Weil \( \frac{2}{3} < 1 \) ist, konvergiert die Reihe gegen
$$ \frac{2^4}{3^2}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{2^4}{3^2} \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{16}{3} $$

Answer 2

(2^{n+2}) /3^n = 4*(2/3)^n

a1= 16/9

q = 2/3

Summenwert : (16/9)/(1-2/3) = ...