Abzählbar unendliche Mengen

Question

Seien A und B abzählbar unendliche Menge mit A ∩ B = ∅. Beweisen Sie, dass A ∪ B abzählbar
unendlich ist.

Wie kann man sowas allgemein beweisen?

Anhand von dem Beispiel A = Ungerade Zahlen und B = Gerade Zahlen sieht man ja, dass das stimmt, aber das kann ich in der Prüfung ja nicht so hinschreiben.

Comments

Gib doch mal eine Abzaehlung der Vereinigung Deines A und Deines B explizit an, und ueberlege Dir dann, wie die aus A und B zustande kommt. Im Allgemeinfall laeuft es genauso.

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Wie meinst du ich soll das explizit angeben. Z.B. : A ∈ 2ℕ und B ∈ 2ℕ+1  und daraus folgt A ∪ B = ℕ. ℕ ist abzählbar  unendlich.

Answer 1

A abzählbar heißt insbesondere es gibt eine Bijektion f von A auf 2*IN (Menge der geraden Zahlen)

und g  von B auf    die Menge der ungeraden.

Also wegen A ∩ B = ∅  auch eine von A∪ B auf IN indem du definierst

h : A∪ B → IN 

       x ------>   f(x) falls x aus A

       x ------>   g(x) falls x aus B

und das ist dann eine Bijektion.