Induktion : ((n^2)*(n+1)^2)/4

Question

Ich kommer bei folgender Induktionsaufgabe nicht weiter:

Σ k^3= ((n^2)*(n+1)^2)/4

Ich habe die Lösung, verstehe aber diesen Schritt nicht ganz:

(((n^2)*(n+1)^2)+4*(n+1)^3)/4 = (((n+1)^2)*(n^2+4n+4))/4

Was passiert mit dem n^2 im Zähler? Die Aufgabe ist so kurz und simpel, aber ich verstehe diesen Übergang einfach nicht...

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

(n^2·(n + 1)^2 + 4·(n + 1)^3) / 4

= ((n + 1)^2·(n^2 + 4·(n + 1))) / 4

= ((n + 1)^2·(n^2 + 4·n + 4)) / 4

= ((n + 1)^2·(n + 2)^2) / 4

Das entspricht jetzt n^2·(n + 1)^2/4 wenn wir n durch n + 1 ersetzen.

Answer 2

Es wurde (n+1)^2 ausgeklammert. In der Klammer steht dann n^2+4*(n+1) = n^2+4n+4