Question

Gegeben: f(x)=1/2x+sin x und x element [0;2π]

1. Berechne f(0), f(π) , f(2π). Was lässt sich  über Nullstellen von f aussagen?

2. Bestimme die Stellen, an denen Gf am steilsten ist.

3. Gib die Stammfunktion von f an.

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Tipp zu (1): Es gibt nur eine Nullstelle, denn es gilt für$$\begin{aligned}x=0:&\,f(x)=f(0)=0,\\0< x<\pi:&\,f(x)=\tfrac x2+\sin x>0+0=0,\\x\ge\pi:&\,f(x)=\tfrac x2+\sin x\ge\tfrac{\pi}2-1>0.\end{aligned}$$

Answer 1

f(x) = 1/2 x + sin(x)

a)

sin(0) = sin(π) = sin(2π) = 0

→  f(0) = 0  ;   f(π) =  π/2  ;  f(2π) = π 

> Was lässt sich  über Nullstellen von f aussagen?

In ] 0 , π [ addieren sich positive Werte zu f(x)  →  keine Nullstellen 

f(π) = π/2  > 1 und 1/2 x  ist streng monoton steigend 

        →  negative Sinuswerte ( ≥ -1 !)  können 1/2 x  in ] 0 , ∞ [  nicht ausgleichen 

        →  keine positiven Nullstellen.

analog in ] - ∞ , 0 [

→  f hat nur die Nullstelle  x = 0  

b)

Eine Funktion f ist am steilsten, wenn f " (x) = 0 ist:

f '(x) = COS(x) + 1/2

f "(x) = - sin(x)  = 0   →  x₁ = 0  ;  x₂ = π  ;  x₃ = 2π   (Stellen, wo G_f am steilsten ist) 

c) 

Eine Stammfunktion von einer Funktion f ist nicht eindeutig bestimmt.

∫ (1/2·x + sin(x)) dx =  1/4·x²  - COS(x)  + C 

Eine Stammfunktion von f  ist also  

F : [0 , 2π ]  → ℝ ,  F(x) = 1/4·x²  - COS(x)     (mit C = 0)  

Gruß Wolfgang