Hesse Matrix mit 3 Veränderlichen. Lokale Extremwerte und deren Art bestimmen: f(x,y,z) = x^3+y^3-15xz

Question

Ich möchte von folgender Funktion die lokalen Extremwerte und deren Art bestimmen:

f(x,y,z) = x^3+y^3-15xz

Dafür habe ich jeweils die erste partielle Ableitung bestimmt und folgendes bekommen:

∂f/∂x = 3x^2-15z

∂f/∂y = 3y^2

∂f/∂z = -15x

Diese drei Ableitungen wollte ich nun gleich 0 setzen, und in einem linearen Gleichungssystem x,y und z bestimmen, um die Werte der Extremstellen zu finden.

Jedoch bin ich unsicher wie ich mit diesen 3 Gleichungen ein Gleichungssystem aufstellen soll, von der Art:

I.   3x^2-15z = 0

II. 3y^2         = 0

III. -15x          = 0

Kann mir da jemand weiterhelfen, wie man nun dies auflösen würde?

Ich bin der Meinung ich hab richtig differenziert aber weiterkommen tue ich nicht.

Answer 1

I.   3x²-15z = 0

II.  3y²         = 0

III. -15x          = 0

$$x=0$$

$$y=0$$

$$0-15z=0$$

$$z=0$$

einziger kritischer Punkt liegt bei $$(0,0,0)$$