über Bereich integrieren 1<=x^2+y^2<=4

Question

Hey:)

Wollt gerade diese Aufgaben machen und dachte, dass die Gleichungen umstellen, es besser ist.

1<=x^2+y^2<=4 <=> 0<= x^2+y^2 -1 <= 3

0<= x<= y

Also hat man einen Kreis mit Mittelpunkt bei (0,-1) mit dem Radius 1.5.

Was fange ich aber mit der zweiten Gleichung an?

Answer 1

Du solltest dir angewöhnen Wolframalpha nebenher laufen zu haben, wenn du Aufgaben lösen möchtest. Auch ein Funktionsplotter wäre nicht schlecht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3C%3Dx%5E2%2By%5E2%3C%3D4

Wie du siehst ist das ein Kreisring mit dem äußerem Radius 2 und dem inneren Radius 1.

Nutze hier z.B. die Symmetrie aus und integriere nur einen viertel Kreisring.

Comments

Achso ich hatte erst jetzt die Komplette Aufgabe gelesen. Da ist ja noch die andere Bedingung

1<=x^2+y^2<=4, 0<=x<=y

Das ist dann ein Achtel Kreisring.

0<=x<=y --> https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3C%3Dx%3C%3Dy

Zusammen sieht das dann so aus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3C%3Dx%5E2%2By%5E2%3C%3D4,0%3C%3Dx%3C%3Dy

Du kannst das vereinfacht hier auch über Polarkoordinaten Integrieren. Vorgemacht worden war dir das ja schon in einer anderen Aufgabe.

Answer 2

Aus der ersten Gleichung erhält man

1<=x^2+y^2<=4

1<=r^2<=4

1<=r<=2

Aus der zweiten Gleichung erhält man

0<=x =rcos(φ) ---> φ∈[-π/2,π/2]

Aus y>=x folgt

sin(φ)>=COS(φ)

und damit  φ∈[π/4,π/2]

Das kann man sich auch graphisch überlegen.

Damit sind die Integrationsgrenzen festgelegt.

Comments

Wie kommst du auf das pi/4 und pi/2, wenn gilt sin(φ) >= cos (φ)?

---

Bei pi/4 schneiden sich die Graphen von sin(φ) und cos(φ).

Wegen sin(φ) >= cos(φ) ist φ∈[π/4,5π/4]
Dazu kommt die Bedingung 0 <= x = rcos(φ) ---> φ∈[-π/2,π/2] und daher insgesamt φ∈[π/4,π/2]

---

Im Intervall [-π/2,π/2]

 ist cos(φ) >=0, man kann die Ungleichung also durch cos(φ), ohne dass sich das Relations Zeichen dreht.

Man erhält tan(φ)>=1

und daraus als weitere Bedingung φ>=π/4

(denn tan(π/4)=1)

Die obere Grenze π/2 kommt daher, dass x und y positiv sein sollen.