Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Question

ich habe eine Frage zu folgender Rechnung:

f(x) = 2x²   - 12x  -1

      = 2 ( x²   + 6x) -1

      =  -2(x²    + 6x + 3²     - 3²   ) -1

      =  -2(x²   + 6x + 9) + 2*9 -1

      = -2(x + 3)²   + 17

Frage: Woher kommt in Zeile 3 die 3²   bzw. - 3²  ?

Vielen Dank

Answer 1

Das ist die quadratische Ergänzung

f(x) = a * (x^2 + px) + c

f(x) = a * (x^2 + px + (p/2)^2 - (p/2)^2) + c

Comments

Ach so, okay, dankeschön

Answer 2

Irgendwie stimmt es mit deinen Vorzeichen
nicht. Ausgehend von
f ( x ) = 2x²   - 12x  -1
f ( x ) = 2 * ( x^2 -6x ) - 1
f ( x ) = 2 * ( x^2 -6x + 3^2 - 3^2 ) - 1
f ( x ) = 2 * ( x^2 -6x + 3^2 ) - 2 * - 3^2  - 1
f ( x ) = 2 * ( x -3x )^2  + 17

Allgemein
x^2 - 6x wird zur binomischen Formel erweitert
x^2 - 6x + (6/2)^2
x^2 - 6x + 3^2
damit es wieder stimmt muß es heißen
x^2 - 6x + 3^2 - 3^2
In diesem Beispiel
( x - 3 )^2 - 9

Comments

Hallo Georg,

vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Leider habe ich trotzdem noch eine Frage.

Ich brüte jetzt seit geraumer Zeit über den Übergang von  Zeile 3 zu Zeile 4 des ersten Teils Deiner  Rechnung nach.

Wo nimmst Du denn die -2 in Zeile 4 her?

Vielen Dank

---

>  f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² - 3² ) - 1 
>  f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) - 2 * - 3²  - 1 

Richtig ist wohl 

f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) - 2 * 3²  - 1 

....

f ( x ) = 2 * ( x - 3)²  - 19

@Kristin

die -2 entsteht beim Ausmultiplizieren:

2 * ( x² - 6x + 3² - 3² ) - 1  

 =  2 * (  x² - 6x + 3² )  -  2 * 3²   

---

Hallo Kristin,
Korrektur :
3.Zeile
f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² - 3² ) - 1
f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) + ( 2 * - 3² ) - 1
f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) - 2 * 3²  - 1
f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) - 19
f ( x ) = 2 * ( x - 3 ) ^2  - 19
So. Ich hoffe jetzt stimmt alles.

---

Hallo Georg,

wahrscheinlich stimmt alles, aber wo holst Du denn das Minuszeichen vor der hinteren 2 in Zeile drei her?? Es müsste doch eigentlich + 2 sein.

Vielen Dank

---

f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² - 3² ) - 1

ich ziehe - 3^2 aus der Klammer und
multipliziere mit 2
( plus 2 * minus 3^2 )
minus ( 2 * 3^2 )
f ( x ) = 2 * ( x² -6x + 3² ) -  ( 2 * 3²  ) - 1

---

Vielen Dank erst einmal. Es sieht schon etwas besser für mich aus, aber morgen muss ich mich unbedingt weiter daran setzen.

Wolfgang, Dir auch vielen Dank

---

Kirsten,
allgemein : es ist noch kein Meister
vom Himmel gefallen.
Das Meiste lernt man durch Übung
und Aufgaben rechnen.

---

In jeder Hinsicht:

Ich bin auch ganz optimistisch, dass das Licht der Erleuchtung morgen deutlich heller scheint. Heute flackert es nur ein wenig.. :-)

Ja, Dir und allen anderen Mitstreitern auch gute Nacht

---

@Kristin

auch dir eine gute Nacht!

@Georgborn

Ein "Danke für den (Fehler-)Hinweis" ist hier im Forum eigentlich üblich!

---

Hallo Kerstin,
vielleicht mangelt es ja noch am Wissen
über Ausklammern und Ausmultiplizieren.

Ausmultiplizieren
a * ( b - c + d )
a * b - a * c + a * d

Ausklammern
a * b - a * c + a * d
a * ( b - c + d )

bezogen auf diese Beispiel
2 * ( x² -6x + 3² - 3² )
2*x² - 2*6x + 2*3² - 2*3^{2
ohne das letzte Glied wieder zurück}
2 * ( x² -6x + 3² ) - 18

Answer 3

Hallo Kristin,

habe das mal etwas anders aufgeschrieben, vielleicht verstehst du es dann besser:

y = 2x² - 12x - 1

     2  teilweise ausklammern:

y =    2 · [ x² -  6x ]  - 1 

In [...]  quadratisch ergänzen  [ + (halber Faktor bei x)² und gleich wieder "aufheben" ] : 

y =  2 · [ x² - 6x + 3² - 3² ]  - 1

 . binomische Formel:

y =  2 · [ (x - 3)² - 3² ]  - 1

[ ... ]  ausmultiplizieren: 

y =  2 · (x - 3)² - 2 · 3²  - 1 

y = 2 · (x - 3)² - 19      ;        S( 3 | 19 ) 

Gruß Wolfgang