Untervektorraum des R^3? X= {(a+b, a-b,0 mit a,b ∈ℝ} und Y ={(a,-a,b mit a,b ∈ℝ}

Question

Gegeben ist X= {(a+b, a-b,0 mit a,b ∈ℝ} und Y ={(a,-a,b mit a,b ∈ℝ}

1. Zeigen Sie dass X und Y Untervektorräume des ℝ³ sind

2. Bestimmen sie die Menge X ∩Y. Ist X ∩Y ein Untervektorraum des ℝ³?

Zu 1:

- Der Nullvektor ist Element von X

- Addition von 2 Reellen Zahlen ergibt wieder eine Reelle Zahl, also ist + abgeschlossen

- Ebenso ergibt die Multiplikation von 2 Reellen Zahlen wieder eine Reelle Zahl, also ist auch * abgeschlossen und deshalb sind X und Y Untervektorräume

Stimmt das so?

Und was mache ich bei der 2. Frage?

Comments

Oh mir ist gerade aufgefallen, dass X gar kein Nullvektor sein kann weil entweder gelten müsste b=-a oder  a=b. Das kann aber nie gleichzeitig eintreffen.

Y müsste jedoch ein Nullvektor sein für a=b= 0 und damit auch ein Untervektorraum

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> ... b=-a oder  a=b. Das kann aber nie gleichzeitig eintreffen.

Doch, dass kann sein, und zwar bei a = b = 0.

Answer 1

> Ebenso ergibt die Multiplikation von 2 Reellen Zahlen wieder eine Reelle
> Zahl,also ist auch * abgeschlossen und deshalb sind X und Y
> Untervektorräume

Laut dieser Argumentation müsste auch M := { (ab, a+b, 0) | a, b ∈ ℝ } ein Untervektorraum. Ist es aber nicht, weil

        (5 5 0) ∈ M und (-4 -4 0) ∈ M,

aber

        (5 5 0) + (-4 -4 0) = (1 1 0) ∉ M. 

Du kommst wohl nicht darum herum, etwas detailierter ans Werk zu gehen:

Seien v, w ∈ X. Seien außerdem r, v_a, v_b, w_a, w_b ∈ ℝ mit v = (v_a+v_b, v_a-v_b, 0) und w = (w_a+w_b, w_a-w_b, 0). Zeige r·v ∈X und v+w∈X.

Comments

Okay vielen Dank, das habe ich jetzt gemacht und dann erhalte ich tatsächlich einen Untervektorraum. 

Kann mir jetzt noch jemand sagen wie ich die Mengen X und Y im dreidimensionalen Raum zeichne?

Ich habe versucht verschiedene Punkte einzuzeichnen, aber bei mir kommt da dann keine passende Fläche heraus...

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X ∩ Y ist die Menge aller Vektoren v für die sowohl

        ∃ a,b∈ℝ v = (a+b, a-b, 0),

als auch

        ∃ a,b∈ℝ v = (a, -a, b)

gilt. Deine Aufgabe ist es nicht, diese Menge zu zeichnen, sondern eine enfachere Beschreibung dieser Menge zu finden.

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Und wie mache ich das dann?

Ich habe da leider gar keine Idee

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In der Aussage ∃ a,b∈ℝ v = (a, -a, b) kann man das a und das b ersetzen durch andere Variablen, zum Beispiel c und d:

        ∃ c,d∈ℝ v = (c, -c, d).

Vorteil ist, dass sie dann nicht mit den Variablen in der Aussage ∃ a,b∈ℝ v = (a+b, a-b, 0) kollidieren. Dann man nämlich 

        (∃ a,b∈ℝ v = (a+b, a-b, 0)) ∧ (∃ c,d∈ℝ v = (c, -c, d))

umformen zu 

        ∃ a,b,c,d∈ℝ v = (a+b, a-b, 0) ∧ v = (c, -c, d).

Aus der transitivität der Gleichheitsbeziehung folgt dann

        ∃ a,b,c,d∈ℝ v = (a+b, a-b, 0) ∧ (a+b, a-b, 0) = (c, -c, d).

Die Gleichung

        (a+b, a-b, 0) = (c, -c, d)

kann man dann in ein Gleichungssystem

        a + b = c
        a  -b = -c
        0 = d.

Adiert man die ersten zwei Gleichungen, dann bekommt man

        2a = 0

und somit a = 0. Einsetzen in a + b = c liefert b = c. Die Aussage ∃ a,b,c,d∈ℝ v = (a+b, a-b, 0) ∧ v = (c, -c, d) reduziert sich somit auf

        ∃ b∈ℝ v = (b, -b, 0).

Somit ist X∩Y = {(b, -b, 0) | b∈ℝ }.

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Hammer danke jetzt habe ich das verstanden!!!!