Probeklausur Integralrechnung mit Hilfsmittelfreiem Teil

Question

Aufgabe 1:

Zeichne den Graphen der Funktion \( f(x)=-\frac{1}{2} x+2 \) in das gegebene Koordinatensystem und berechne \( \int \limits_{-1}^{6}\left(-\frac{1}{2} x+2\right) d x \)

Aufgabe 2:
Aus einem bis an den Rand gefüllten 15-Liter-Eimer láuft nach folgendem Schaubild Wasser aus einem Loch im Boden aus. Berechne, wie viel Liter Wasser sich nach 25 Stunden noch im Eimer befinden.

Autgabe 3

In einem Pumpspeicherwerk wird nachts Wasser aus einem unteren Becken in ein oberes Speicherbecken gepumpt. Zur Stromerzeugung kann das Wasser am Tag über eine Turbine wieder abgelassen werden. Zwischen 2.00 und 5.00 Uhr werden folgende Messungen (alle 15 Minuten) fur die einlaufende Wassermenge ins Speicherbecken aufgezeichnet:

a) Bestimme rechnerisch die gesamte Wassermenge, die zwischen 2.00 und 5.00 Uhr einfließt?

b) \( A b \) 5. 00 Uhr fließen \( 60 \mathrm{m}^{2} / \mathrm{min} \) gleichmäßig  ab. Zeichne diesen "Ablauf" in das Koordinatensystem ein.

c) Berechne nach welcher Zeit das Speicherbecken wieder geleert ist?

d) Berechne \( \int \limits_{0}^{210} f(t) d t \). Gib an, welchen Größenwert dieses Integral in der oben angegebenen Anwendungssituation wiedergibt.

Ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur zum Thema Integral. Das ist eine Probeklausur die wir zum üben bekommen haben (Klausur vom parallel Kurs). Ich habe die aufgaben soweit ich konnte bearbeitet und wollte wissen, ob die so richtig sind.

Hilfsmittelfreier Teil:

1) A=  1/2 • (2+5)•6 = 21 FE ?

2) 1/2•(15+25)•0,2=4   15l-4-=11l  → Es befinden sich nach 25h noch 11Liter im Tank. ?

Mit GTR:

3a) A_Dreieck = 1/2•45•30=675

A_Trapez= 1/2•(30+90)•45=2700

A_Rechteck=90•90=8100

A_{Gesamt= 675+2700+8100=11475m}³  ?

b) wie zeichnet man das ein ? Das verstehe ich nicht ganz ?

c) muss man da einfach das Ergebnis durch 60 teilen ? also : 11475 ÷ 60= 191,25 ??

d) Verstehe ich auch nicht wirklich.. weiß nicht wie ich da vorgehen soll

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe ! Es wäre mir wirklich wichtig ! 

Answer 1

Hi,

die 1.) stimmt nicht. Die letzten Schritte vom Integrieren lauten: (-9+12)-(-0.25-2)=5.25

Bei der 2.) musst du noch mal drüber schauen. Ich komme auf 9,5 Liter. Habe den Flächeninhalt des Trapez (1,5) und den des Rechtecks (4) von 15 abgezogen.

Zur 3.)

Die a) ist korrekt.

b) Die y-Achse gibt dir ja immer an wie viel m³ pro Minute fließt. Bis jetzt hatten wir nur einen Zufluss von Wasser. Das erkennt man auch daran, dass der Graph über der Zeitachse verläuft. Nun willst du einen konstanten Abschluss haben. Überlege dir mal wo du was einzeichnen musst.

c) Korrekt.

d) Bis t=180 hast du dieses Integral ja schon berechnet (siehe a)). In der Zeit von t=180 bis t=210 hast du einen konstanten Abfluss. Wenn du weißt wie du in b) zeichnen musst, weißt du auch wie viel du von deinem Wert aus a) noch abziehen musst.

In der a) hast du berechnet wie viel Wasser in den ersten 3 Stunden einfließt indem du das Integral berechnet hast von t=0 bis t=180. Dein Ergebnis gibt dir also an wie viel Wasser nach 3 Stunden im Becken ist. Was gibt dir dann der berechnete Wert des Integrals von t=0 bis t=210 an?

Comments

Edit:

Bei der 2.) hat das Rechteck einen Flächeninhalt von 3.

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Zu1) wie muss ich dass denn berechnen also den Grapfen zeichnen und dann es mit Hilfe des Flächeninhalts berechnen oder wie....?

Bei 2) weiß ich schon wo mein Fehler lag...

Bei 3b) weiß ich nicht so wirklich wie ich das einzeichnen muss :/ muss ich einfach komplett runtergehen sodass es bei t=210 wieder auf 0 ist ?

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Bitte.

1.) Hier müssen wir integrieren:
$$\int_{-1}^6 -\frac{1}{2}x+2 \ dx =[-\frac{1}{4}x^2 +2x]^6_{-1}$$

3.) Da es ein Ausfluss ist, müssen wir ja auf jeden Fall schon mal unter er Zeitachse zeichnen. Ansonsten würde das Wasser ja ins Becken fließen und das wollen wir nicht.

Zeichnen wir z.B. einen Punkt bei t = 200 und f(t)  = -40, so hätten wir einen Ausfluss von 40 m³/min bei 200 Minuten. Nun wollen wir immer einen Ausfluss von 60 m³/min von t=180 bis t=210 haben.

Weißt du jetzt was du einzeichnen musst?:)

Answer 2

> 1) A=  1/2 • (2+5)•6 = 21 FE ?

Die 21 sind falsch. Wie bist du auf 1/2 • (2+5)•6 gekommen?

Das FE ist auch falsch. integrale haben keine Einheit. Insbesondere sind Integrale keine Flächeninhalte.

> 1/2•(15+25)•0,2=4

Das ist richtig. Es trägt aber nicht zur Lösung der Aufgabe bei.

> 15l-4-=11l

Das ist seltsam. Da ist ein Minuszeichen rechts von der 4, dass ich nicht vestehe.

> Es befinden sich nach 25h noch 11Liter im Tank.

Das ist falsch. Es befinden sich noch 15 - 0,2·(25-10) - ½(0,1+0,2)·10 = 10,5 Liter im Tank.

> 3a

Richtig.

> b) wie zeichnet man das ein ?

Du hast die y-Achse mit der Einheit m³/min beschriftet (das ist die Zuflussgeschwindigkeit). Du hast in der Aufgabenstellung 60 m³/min Abflussgeschwindigkeit gegeben. Bemerke, dass die Einheiten gleich sind und dass ein mal von Zufluss und ein mal von Abfluss die Rede ist.

Was ist denn die Zuflussgeschwindigkeit um 4:00 Uhr; was ist sie um 4:30 Uhr, wie sieht der Graph zwischen diesen beiden Zeitpunkten aus?

Was ist die Abflussgeschwindigkeit um 5:30 Uhr; was ist sie um 6:00 Uhr, wie sieht wohl der Graph zwischen diesen beiden Zeitpunkten aus?

> c) muss man da einfach das Ergebnis durch 60 teilen

Ich weiß nicht welches Ergebnis du meinst. Du hast viel gerechnet, also hast du auch viele Ergebnisse

> d) Verstehe ich auch nicht wirklich

In Teil a) hast du ∫_0..180 f(t) dt berechnet. Verwende die in b) berechnete Fortsetzung um ∫_0..210 f(t) dt zu berechnen.