Hallo Luis,
mache Dir zunächst eine Skizze:
Plotlux öffnen f1(x) = exp(x)-1P(1|exp(1)-1)f2(x) = -exp(-1)(x-1)+exp(1)-1Zoom: x(-2…8) y(-2,5…4,5)
dann sieht man, dass da zwei Flächenstücke sind. Das erste unter der Funktion f(x) im Intervall [0..1) und das zweite Stück unter der Geraden. Diese Gerade geht durch P(1∣e−1) und hat die Steigung der Normalen von f(x) im Punkt x=1. Ist die Steigung der Funktion f′(x), so ist die Steigung m der Normalen
m=f′(x)−1f′(x)=ex
(falls Du dazu Fragen hast, so frage bitte nach). Damit lautet die Geradengleichung g(x)
g(x)=e1−1(x−1)+e−1=−e−1x+(e+e−1−1)
Der Schnittpunkt x0 dieser Geraden mit der X-Achse ist
g(x0)=−e−1x0+(e+e−1−1)=0⇒x0=e2−e+1≈5,67
Damit haben wir alle Größen um das Integral aufzustellen. Die Fläche F ist
F=∫01ex−1 dx+∫1e2−e+1−e−1x+(e+e−1−1) dx
Das erste Stück ist
∫01ex−1 dx=ex−x∣01=e−2
und das zweite Stück ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen e−1 und e2−e. Demnach ist die Gesamtfläche
F=e−2+21(e−1)(e2−e)=2e3−e2+23e−2≈4,731
Und wenn Du das zweite Flächenstück noch 'richtig' integrieren möchtest, so sieht das so aus:
∫1e2−e+1−e−1x+(e+e−1−1) dx=−21e−1x2+(e+e−1−1)x∣∣∣∣∣1e2−e+1
=−21e−1(e2−e+1)2+(e+e−1−1)(e2−e+1)+21e−1−(e+e−1−1)
=21(e+e−1−1)(e2−e+1)+21e−1−(e+e−1−1)
=(e+e−1−1)(21(e2−e+1)−1)+21e−1
usw. es kommt das gleiche raus, wie oben (ich muss jetzt abbrechen)
