Hallo Luis,
mache Dir zunächst eine Skizze:
~plot~ exp(x)-1;{1|exp(1)-1};-exp(-1)(x-1)+exp(1)-1;[[-2|8|-2.5|4.5]] ~plot~
dann sieht man, dass da zwei Flächenstücke sind. Das erste unter der Funktion \(f(x)\) im Intervall \([0..1)\) und das zweite Stück unter der Geraden. Diese Gerade geht durch \(P(1|e-1)\) und hat die Steigung der Normalen von \(f(x)\) im Punkt \(x=1\). Ist die Steigung der Funktion \(f'(x)\), so ist die Steigung \(m\) der Normalen
$$m = \frac{-1}{f'(x)} \quad f'(x)=e^{x}$$
(falls Du dazu Fragen hast, so frage bitte nach). Damit lautet die Geradengleichung \(g(x)\)
$$g(x)= \frac{-1}{e^1}(x-1) + e - 1= -e^{-1}x +(e + e^{-1}-1)$$
Der Schnittpunkt \(x_0\) dieser Geraden mit der X-Achse ist
$$g(x_0) = -e^{-1}x_0 +(e + e^{-1}-1) = 0 \quad \Rightarrow x_0=e^2-e+1 \approx 5,67$$
Damit haben wir alle Größen um das Integral aufzustellen. Die Fläche \(F\) ist
$$F = \int_0^1 e^x -1 \space \text{d}x + \int_1^{e^2-e+1} -e^{-1}x +(e + e^{-1}-1) \space \text{d}x$$
Das erste Stück ist
$$ \int_0^1 e^x -1 \space \text{d}x = \left. e^x - x \right|_0^1 = e - 2$$
und das zweite Stück ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(e-1\) und \(e^2-e\). Demnach ist die Gesamtfläche
$$F = e-2 + \frac{1}{2}(e-1) (e^2-e) = \frac{e^3}{2} - e^2 + \frac32 e - 2 \approx 4,731$$
Und wenn Du das zweite Flächenstück noch 'richtig' integrieren möchtest, so sieht das so aus:
$$ \int_1^{e^2-e+1} -e^{-1}x +(e + e^{-1}-1) \space \text{d}x = \left. -\frac12 e^{-1} x^2 + (e + e^{-1}-1)x\right|_1^{e^2-e+1}$$
$$\space = -\frac12 e^{-1} (e^2-e+1)^2 + (e + e^{-1}-1)(e^2-e+1) + \frac12 e^{-1} - (e + e^{-1}-1)$$
$$\space = \frac12 (e + e^{-1}-1)(e^2-e+1) + \frac12 e^{-1} - (e + e^{-1}-1)$$
$$\space = (e + e^{-1}-1) \left( \frac12(e^2-e+1) -1 \right) +\frac12 e^{-1}$$
usw. es kommt das gleiche raus, wie oben (ich muss jetzt abbrechen)
