grenzwert von sin/cos gleichung

Question

lim x→0   (sin(x) cos(x))/(x cos(x)−x2−3x)

ich habe keinen schimmer, wie ich hier den grenzwert berechnen soll.

beim einsetzen von 0 wird alles zu 0

Answer 1

 (sin(x) cos(x))/(x cos(x)−x^2−3x)

Grenzwert vom Typ 0/0 kann man nach der Regel von de Hospital

berechnen, indem man im Zähler und Nenner die Ableitung bildet

(2cos(x)^2 - 1) / ( cos(x) - x*sin(x) - 2x - 3 )

für x gegen 0 gibt das

( 2 - 1) / ( 1 - 0 - 0 - 3)  =  1 / -2 =  -0,5

Answer 2

in den Fällen, wo man ,,0 durch 0'' teilt, musst du L'Hospital anwenden, unzwar solange bist, du 0 einsetzen kannst.

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\cos(x)}{x\cdot \cos(x)-x^2-3x}\stackrel{L'H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)}{1\cdot \cos(x)-x\cdot \sin(x)-2x-3}\\=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\cos(x)-x\cdot \sin(x)-2x-3}=\frac{\cos^2(0)-\sin^2(0)}{\cos(0)-0\cdot \sin(0)-2\cdot 0-3}\\=\frac{1-0}{1-0-0-3}=\underline{\underline{-\frac{1}{2}}} $$