Koordinaten und Basiswechsel

Question

Aufgabe:

Es sei V = Q3. Dann sind zwei Basen von V gegeben durch S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} und T = {(−4,2,1),(−1,0,1),(1,−1,1)}

(a) Es sei \( w \in V \text { mit } \gamma _ { T } ( w ) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \end{array} \right) \). Bestimmen Sie \( \gamma _ { S } ( w ) \).

(b) Es sei \( v \in V \text { mit } \gamma _ { S } ( v ) = \left( \begin{array} { c } { 3 } \\ { - 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) \). Bestimmen Sie \( \gamma _ { T } ( v ) \).

(c) Es sei B = {(1,0,−1),(−1,1,0),(0,−1,2)} eine weitere Basis von V und sei u ∈ V mit γB(u) = \( \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { 1 } \end{array} \right) \)

Bestimmen Sie γS(u) und γT(u) sowie γB(v) und γB(w), wobei v bzw. w dasselbe ist, wie in (b) bzw. (a)

Answer 1

Das erste bedeutet doch wohl$$ γ_T(w) =\begin{pmatrix} 1\\0 \\-1 \end{pmatrix} $$

wegen T = {(−4,2,1),(−1,0,1),(1,−1,1)} also

$$w=1*\begin{pmatrix} -4\\2 \\1 \end{pmatrix}+0*\begin{pmatrix} -1\\0 \\1 \end{pmatrix}-1*\begin{pmatrix} 1\\-1 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\3 \\0 \end{pmatrix}$$

und diesen musst du nun durch S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

darstellen, also

$$\begin{pmatrix} -5\\3 \\0 \end{pmatrix}=-5*\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}+3*\begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \end{pmatrix}0*\begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \end{pmatrix}$$

Also hast du $$ γ_S(w) =\begin{pmatrix} -5\\3 \\0 \end{pmatrix} $$

etc.