Zu a)
Laut Definition heißt eine differenzierbare (ableitbare) Funktion F(x) eine Stammfunktion von f(x), wenn \(F'(x)=f(x)\) gilt.
Im Übrigen ist jedes unbestimmte Integral \(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx\) einer stetigen Funktion \(f(x)\) eine Stammfunktion von dieser. (Wenn eine Funktion auf [a,b] stetig ist, ist sie also auch dort integrierbar. → \(I(x)\) ist aufgrund von \(I'(x)=f(x)\) eine stetig differzierbare Funktion).
Es gilt also auch hier \(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx \Rightarrow I'(x) = f(x)\).
Zu b)
Jede Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, die sich durch die additive Konstante (meist C) unterscheiden.
Daher lässt sich jedes unbestimmte Integral auch folgendermaßen darstellen:
\(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx=F(x)+C_1\; \; \; (C_1 \in \mathbb{R})\)
Da es eine Konstante ist, entfällt diese beim Differenzieren natürlich wieder, denn
\(\dfrac{d}{dx}[C]=0,\;C\in \mathbb{R}\)
