Taylorreiheentwicklung zur Lösung von numerischen Funktionen

Question

Aufgabe:

ich habe für meine Übung die Aufgabe:

Verwenden Sie Erweiterungen der Taylor-Serie zur Berechnung
die Reihenfolge der Genauigkeit b in Bezug auf h der folgenden Formeln für die numerische Näherung von Funktionsableitungen:

f'(x) = (−f(x + 2h) + 8f(x + h) − 8f(x − h) + f(x − 2h))/12h+ O(h^b)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, ich habe keinen Ansatz zum lösen der Gleichung. Taylor an sich verstehe ich, aber in der Regel beinhaltet Taylor ja Ableitungen. Kann mir einer bei der Lösung dieser Aufgabe helfen, sodass ich Ansätze zu ähnlichen Aufgaben habe.

Vielen Dank!

Answer 1

setze die Taylorreihe von f(x) an, also

f(x+h)=f +f'*h + f'' *h^2 /2 +f'''*h^3 /6 + f'''' *h^4/ 24 +f''''' * h^5 /120+...

Ebenso berechnest du

f(x+-2h) und f(x-h)

Tipp: aufgrund der der Symmetrie der gewählten Terme heben sich die geraden Ableitungen im Zähler weg.

Tipp: wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann verschwindet die Terme der dritten Ableitung noch, ab der 5 dann nicht mehr ;)

Also b=4, da man zum Schluss nochmal durch h teilt.

Ist halt ein Haufen Schreibarbeit und zusammenfassen ;)