Volumen und Fläche berechnen durch Funktion

Question

Wenn eine Funktion angegeben ist und man muss die Fläche oder das Volumen  berechnen, muss mann dann bei Beiden integrieren???

Was muss man machen, um auf das Volumen zu kommen und auf die Fläche zu kommen?

Intergrieren, Ableiten, bestimmtes Integral??? Das verstehe ich jetzt nicht so genau...

Answer 1

Hier mal ein grober Überblick:

Du musst zuerst die Begriffe Differenzieren und Integrieren verstanden haben, um dann zu wissen, was gemacht werden muss. Beim Differenzieren beschäftigt man sich in der Schule vorallem mit dem Sachverhalt, welche Steigung bzw. welche Änderungsrate in einem Punkt vorliegt. Dafür benutzt ihr Ableitungen, die man mit dem Differentialquotienten folgern kann.

Beim Integrieren macht man genau das Umgekehrte vom Differenzieren. Man stellt sich immer die Frage, welche Funktion F abgeleitet die gegebene Funktion f ergibt. Man betreibt beim finden von F das sogenannte ,,Umgekehrte Differenzieren".

Man kann das Integral weiter klassifizieren. Sucht man nur F, dann hat man ein unbestimmtes Integral. Im Endeffekt kann man sich dann das bestimmte Integral so vorstellen. Man summiert alle Funktionswerte auf einem gegeben Intervall mit unendlich kleinem Abstand auf. Und das kann dann die Fläche sein oder repräsentiert - wenn man Physik macht - gerade die verichtete Arbeit.

Und wenn man das Volumen haben will, braucht man auch ein Integral, was ihr sicherlich auch durchgenommen habt.

Answer 2

Kannst du denn eine Stamfunktion einer Funktion
aufstellen ?
Fläche A = ∫ f dx zwischen Anfangswert ( x ) und
Endwert ( x )
Gib einmal eine Funktion an.

Comments

Egal, irgendeine. Ich habe keine bestimmte Funktion. Ich will nur mal den Kontext verstehen von Fläche und Volumen in Beziehung zu Integral.

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Skizze 1 zeigt dir eine Funktion f ( x ).
Ein Flächenstück unterhalb der Kurve
läßt sich berechnen mit
( Funktionswert an der Stelle x ) * ( Breite Flächenstück )
A ( x ) = f ( x ) * Δ x
Alle Flächenstücke wären
A ( x ) = Summe [ f ( x ) * Δ x ]
Integralrechnung mit kleinstmöglicher Streifenbreite
Stammfunktion ( x ) zwischen a und b

In der 2.Skizze läßt man die Funktion um die x-Achse rotieren.
Es entsteht ein Rotationskörper nunmehr mit Volumen.
An der Stelle x ist eine Scheibe / Kreis.
( Hier etwas schiief gezeichnet ). Die Scheibe hat die Fläche
A ( x ) = [ f ( x ) ] ^2 * PI * Δ x
( Der Funktionswert ist der Radius der Scheibe )
Die Aufsummierung der gesamten Scheibenflächen mit der
Integralrechnung ergibt
∫ [ f ( x ) ] ^2 * PI dx zwischen a und b

Soviel für dich den Anfang.
Über das Internet die Integralrechnung zu erklären
wäre zuviel.