Ich suche das Integral für cos(x*1/2)

Question

die Aufgabe ist eine Stammfunktion von cos(x*1/2) zu finden. Das Ergebnis lautet 2*sin(x*1/2).

Ich verstehe einfach nicht, wo diese 2 her kommt.

Dass Cosinus in der Stammfunktion Sinus wird verstehe ich schon, aber diese 2 eröffnet sich mir nicht.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Lineare Substitution.

Würdest du sin(0.5x) ableiten, kämest du auf 0.5 * cos(0.5x). Daher mit dem Faktor 2 multiplizieren, damit wieder 2*0.5 cos(0.5x) = cos(0.5x) entsteht. Deshalb ist der Vorfaktor in der Stammfunktion 2.

Comments

So hab ich das noch nie versucht, aber Du hast natürlich recht, vielen Dank!

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Andernfalls substituieren.

\(\displaystyle\int \cos(0.5x) \, dx \Rightarrow u=0.5x \rightarrow du=0.5 dx \Leftrightarrow dx=\dfrac{1}{0.5}du = 2du\)

Es ergibt sich \(2\displaystyle\int \cos(u)\, du = 2 \sin(u) + C \) und nach dem Rücksubstituieren \(2\sin(0.5x)+C\).