Umkehrabbildung nur bei injektiver Abbildung?

Question

Aufgabe:

Seien X, Y Mengen und sei f ∶ X → Y eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie:

Für jede Menge A ⊂ X gilt f ^-1 (f (A)) = A.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit der Umkehrabbildung. Da eine Abbildung immer eindeutig sein muss, kann ich die Umkehrabbildung doch nur von injektiven Abbildungen bilden, oder?

Ich kann die Aussage nicht beweisen solange ich nicht die Injektivität voraussetze.

Answer 1

Da eine Abbildung immer eindeutig sein muss, kann ich die Umkehrabbildung doch nur von injektiven Abbildungen bilden, oder?     Genau !

Und widerlegen kannst du das z.B. durch

f : R → R   mit f(x) = x^2 .   Und A = [-2 ; 5 ]

f(A) =  [0;25]

   f^(-1) ([0;25])  =  [-5 ; 5 ]   ≠ A

Denn    f^(-1) ([0;25]) ist ja die Menge aller Urbilder.

Das f^(-1) bedeutet hier Urbildmenge nicht Umkehrfunktion.