e^x Ableitung mit Vollständiger Induktion beweisen

Question

Aufgabe:Die n-te Ableitung der Funktion f(x) = x∙e^2x lautet f⁽ⁿ⁾(x) = (2ⁿ∙x + n∙2^n-1) e^2x

Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion!

Problem/Ansatz:

N + einmal Term mit n+1 gleichsetzen, dann Äquivalenzumformungen

Answer 1

Die n-te Ableitung der Funktion f(x) = x∙e(2x) lautet f(n)(x) = (2^n∙x + n∙2^(n-1)) e^(2x)

n=1 : Produktregel gibt f'(x) = 1*e^(2x) + x*e^(2x)*2 = (1 + 2x)*e^(2x)

= ( 2^1 * x + 1*(2^0) ) * e ^(2x)  Passt !

f(n+1)(x) = Ableitung von (2^n∙x + n∙2^(n-1)) e^(2x)

       = 2^n * e^(2x) +  (2^n∙x + n∙2^(n-1)) e^(2x)*2

= (  2^n +  (2^n∙x + n∙2^(n-1))*2 ) * e^(2x)

= (  2^n +  2^(n+1)∙x + n∙2^n ) * e^(2x)

= (   2^(n+1)∙x + (n+1)∙2^n ) * e^(2x)  

Das liefert die Formel für n+1 auch !  q.e.d.

Answer 2

Induktionsanfang: n = 1

f(x) = x·e^(2·x)
f'(x) = 1·e^(2·x) + x·2·e^(2·x) = (2·x + 1)·e^(2·x)

f'(x) = (2^1·x + 1·2^(1 - 1))·e^(2·x) = (2·x + 1)·e^(2·x) → stimmt

Induktionsschritt: n → n + 1

[(2^n·x + n·2^(n - 1))·e^(2·x)]'
(2^n)·e^(2·x) + (2^n·x + n·2^(n - 1))·2·e^(2·x)
(2^n)·e^(2·x) + (2^(n + 1)·x + n·2^n)·e^(2·x)
(2^n + 2^(n + 1)·x + n·2^n)·e^(2·x)
(2^(n + 1)·x + (n + 1)·2^n)·e^(2·x)

f^(n + 1)(x) = (2^(n + 1)·x + (n + 1)·2^((n + 1) - 1))·e^(2·x) = (2^(n + 1)·x + (n + 1)·2^n)·e^(2·x) → stimmt