Berechnen Sie \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} .

Question

b) Sei \( a_{k}=\frac{2 k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}\). Überprüfen Sie die Identität $$ a_{k}=\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}} $$
(c) Berechnen Sie \( \sum_{k=1}^{n} a_{k} \).
(d) Was können Sie also über \( \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \) sagen?

Wie berechnet man diese Summe? Ich weiß, dass der erste Summand Teil der harmonischen Reihe ist. Wie nützlich diese Information ist, weiß ich aber nicht.

Answer 1

Aloha :)

zu b) Umformung der Folgenglieder:$$a_k=\frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2(k+1)^2}=\frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\frac{\cancel{(k+1)^2}}{k^2\cancel{(k+1)^2}}-\frac{\cancel{k^2}}{\cancel{k^2}(k+1)^2}$$$$a_k=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}$$zu c) Bestimmung der Summe:$$S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)^2}$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\left(\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\frac{1}{(n+1)^2}$$zu d) Grenzwert-Bestimmung:$$S_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1$$

Comments

oh wow danke, darauf wär ich ja in hundert Jahren nicht gekommen :D bezüglich c) also du spaltest die Summer zuerst auf aber was passiert dann? Wie wird aus der Summe mit 1/(k+1)^2 die Summe mit 1/k^2 (also was passiert da zwischen dem 2. und 3. = Zeichen ?)

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Das nennt sich "Indexverschiebung"...

Wenn du die Summe ausschreiben würdest, sähe das so aus:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}$$Anstatt die Summe bei \(k=1\) anfangen zu lassen und über \(\frac{1}{(k+1)^2}\) zu addieren, können wir die Summe auch bei \(k=2\) anfangen lassen und stattdessen über \(\frac{1}{k^2}\) addieren. Das passt auch beim letzten Summand.