Extremwertaufgabe: mit Geschwindigkeit

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe hier mal eine Aufgabe:



Ein Passagier erreicht den Bahnsteig an der Stelle, wo das Ende des Zuges sein sollte. Dieser ist allerdings vor 6 s mit einer konstanten Beschleunigung von 0,4 m/s² angefahren. Angenommen, der Passagier hätte die Möglichkeit noch aufzuspringen, so er den Zug denn erreicht, mit welcher (konstanten) Mindestgeschwindigkeit müsste er diesem hinterherrennen? Wie lang muss dafür der Bahnsteig mindestens sein?



Problem/Ansatz:

Meine bisherigen Überlegungen waren, dass nach 6s und der a (Beschleunigung), der Zug eine Geschwindigkeit von 8,64 km/h aufweist und sich 7,2m nach vorn bewegt hat. Ich weiß nun nicht, wie ich diese Mindesgeschwindigkeit und die Länge des Bahnsteiges ermitteln soll. Das klingt für mich nach einem Extremwertproblem, ich habe aber keine Idee, wie dazu eine Funktion aussehen soll.
Ich würde mich über etwas Hilfe hierfür sehr freuen.

Answer 1

Wenn man sich längs des Bahnsteiges eine m-Skala

vorstellt, die die 0 an der Stelle hat, wo das Zugende vor

6s stand und man mit der Zeitmessung mit t=0 beginnt,

dann ist das st-Diagramm des Zugendes die

Parabel mit der Gleichung 0,2t^2 . Das Diagramm des

Passagiers beginnt im Punkt (6;0) und ist eine Gerade

(konstante Geschwindigkeit) . Und er kann nur aufspringen,

wenn die Gerade die Parabel schneidet oder zumindest

tangiert. Im letzteren Fall (Das ist seine Mindestgeschw.)

Hat die Gerade ( falls der Berührpunkt bei (a;b) ist

die Steigung:  b / ( (a-6)  und außerdem

ist b = 0,2*a^2  und es ist  0,4a =   b / ( (a-6)

denn die Geradensteigung ist ja gleich der Steigung der

Parabel im Berührpunkt.

Mit den beiden Gleichungen kannst du a und b berechnen.

Ich habe a=12 b=28,8 und damit v = b / ( (a-6) = 4,8 m/s

für den Passagier.

Also muss der Passagier mit mindestens 48m/s losflitzen

und erreicht dann nach 12s ( bzw. 6s nachdem er gestartet

ist.) das Zugende beim Meter 28,8.

Der Bahnsteig muss also mindestens 28,8m lang

sein , von der Stelle aus gemessen, wo der Passagier

gestartet ist.

Konrolle: Der Passagier rennt 6s lang mit 4,8m/s

also eine Strecke von 28,8m.

Der Zug fährt 12s lang mit einer Beschleunigung von 0,4m/s^2

kommt also 0,5*0,4m/s^2*144s^2 = 28,8m weit.

Das passt.