Zeigen Sie, dass die Folge an mit der Eigenschaft an+1<=an+1/n² konvergiert

Question

Aufgabe:

Sei (an)n eine Folge nicht negativer reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass für alle n ∈ N

\( a_{n+1} \leq a_{n}+\frac{1}{n^{2}} \)

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert.

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass 1/n² gegen 1 konvergiert, allerdings weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass an+1/n² ebenfalls konvergiert, wenn an monoton fallend ist.

Comments

eh gegen 0 natürlich

Answer 1

a₂=a₁+1

a₃=a₂+1/4=a₁+1+1/4

a₄=a₃+1/9=a₁+1+1/4+1/9

Zum Startglied a₁ kommt die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) hinzu, also nie mehr als π/6.