Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem des E^3.

Question

Brauche Hilfe ! 

Wie kann ich die Koordinatenvektoren aller in der xy-Ebene liegender Einheitsvektoren ( Vektoren der Länge 1) bestimmen, die orthogonal zu 

v = [ 1 2 3 ] ^T  sind.

 

Answer 1

Gesucht sind alle Vektoren vom Typ u = (x,y,0)^T mit der Länge 1, die senkrecht auf v stehen, d.h. das Skalarprodukt von u und v muß 0 sein. Das ergibt Gleichungen der Form:

x + 2y + 0z = 0

und

x² + y² = 1

Einsetzen von x aus der ersten Gleichung in die zweite ergibt: 5y² = 1 oder y_1/2 = ± \( \sqrt{1/5} \) und weiter

x_2/1 = ±2*\( \sqrt{1/5} \)

Die gesuchten Einheitsvektoren lauten also

u₁ = (1/\( \sqrt{5} \)) (-2,1,0)^T und u₂ = (1/\( \sqrt{5} \)) (2,-1,0)^T

Comments

... und noch das Bild zur Aufgabe:

Answer 2

Die gesuchten Vektoren sollen senkrecht zu v = [1, 2, 3] sein und in der Ebene mit dem Normalenvektor n = [0, 0, 1] liegen.

Damit suchen wir die Einheitsvektoren, die senkrecht zu v und n liegen. Die bekommt man sehr leicht mit dem Kreuzprodukt.

[1, 2, 3] ⨯ [0, 0, 1] = [2, -1, 0]

Jetzt noch normieren und auch den gegenVektor betrachten. Damit sind die gesuchten Vektoren

a = 1/√5·[2, -1, 0] und b = -1/√5·[2, -1, 0]