Orthonormalsysteme bei Vektoren

Question

Es sei $V$ ein endlich erzeugter Vektorraum. Kreuzen sie alle richtigen Aussagen an

Antworten:

1. Es gibt auf $V$ eine Orthonormalbasis

2. Wenn $V$ zusätzlich ein Prähilbertraum ist gibt es eine Orthonormalbasis

3. Wenn $V$ eine Orthonormalbasis zu einem Skalarprodukt $f$ auf $V$ besitzt ist die Orthonormalbasis bis auf Umnummerierung eindeutig.

4. Wenn $B$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus in dieser Basis ist muss $A$ diagonal sein.

5. Wenn $\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ die Vektoren einer Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^{n}$ sind und wir $B=\left[\operatorname{col} b_{1}, \ldots, \operatorname{col} b_{n}\right]$ definieren gilt $B^{T} B=I_{n}$ und $B B^{T}=I_{n}$.

Comments

Hallo,

ich finde es immer etwas unbefriedigend, wenn Leute Aufgaben hier rein hauen, ohne mal einen kleinen Gedanken auf Teil-Lösungen verwendet zu haben.

Nimm mal die 3. Frage: Denkst Du, dass es im $\mathbb{R}^2$ nur eine Orthonormalbasis gibt?

Gruß

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Hallo, ich denke es gibt mehrere, bin mir aber nicht sicher.

Stehe bei der Aufgabe halt komplett auf dem Schlauch, deswegen habe ich keine Ansätze für eine Teillösung

Gruß

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Fangen wir mal Oben an. Was meinst du denn selber zur 1.) ?

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1 müsste richtig sein, weil jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt

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Sehe ich auch so! Allerdings wäre hier dann noch die Frage, wie man das OrthoNORMALbasis feststellt...

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Wissen sie denn zu den anderen Antworten die Lösungen? Wäre für Hilfe wirklich sehr dankbar

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Bei 2.) kann man die gleiche Überlegung anstellen, wie zu 1.) hier wäre dann die Definition des Prähilbertraumes nützlich...

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Naja es ist ja so, dass jeder separable Prähilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt.

Ein Prähilbertraum ist ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Z.b. Wenn V nach R eine positiv definite symmetrische Bilinearform darstellt, ist V ein Prähilbertraum

Answer 1

Hallo
mit 2 .richtig hast du recht. aber da in 1. kein Skalarprodukt definiert sein muss, was ist dann "normal"
zu 3) betrachte die Basis (1,0), (0,1) und 1/√2(1,1) ,1/√2(1,-1) oder noch andere
zu 4 schreib die Matrix hin die die Basis 1 aus 3 in die Basis 2 verwandelt.
5 ich weiss nicht was das colbi bedeutet, wenn du es weisst experimentiere mit den Basen in 3
Gruß lul