Grenzwert einer konvergenten Folge bestimmen

Question

Aufgabe:

Man soll überprüfen ob die Folge kovergent ist, und falls ja welchen Grenzwert sie hat.

a_n = \( \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2} \) + \( \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 4} \) + ... + \( \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2n} \)

Problem/Ansatz:

Meine Idee war das Sandwich-Kriterium anzuwenden, aber ich weiß nicht genau man das mit so einer Folge machen soll.. Ich bedanke mich im voraus für jede Antwort! :)

Answer 1

Hallo, Sandwhich-Kriterium ist hier ein guter Ansatz. Man kann ja diese Folge etwas umschreiben, zb so hier:

\(a_n= \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2} \) + \( \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 4} \) + ... + \( \frac{ n^2 - 1}{n^3 + 2n}=(n^2-1)\cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^3+2k} \). Wenn du nun \(a_n\) betrachtest, wirst du sehen, dass stets für alle \(n\geq 1\) auch \(0\leq a_n\) gilt. Frage an dich: Wie kannst du nun die Summe \(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^3+2k}\) jeweils nach oben und unten gliedweise abschätzen? Damit kannst du sehr schnell einsehen, gegen was dein \(a_n\) konvergiert.

Comments

Hallo,

erstmals vielen Dank für die Antwort! :)

Dann soll gelten, dass b_n ≤ a_n ≤ c_n . Also ich kann sagen, dass b_n:= n*  \( \frac{n^2 -1}{n^3 + 2n} \) und c_n:= n* \( \frac{(n^2 - 1)}{ n^3 } \) ist, oder?

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Ja, das klappt. Und gerne! :)