Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Funktionen:

Question

Aufgabe:

(43) Was ist ein lokales Extremum? Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Funktionen:
(b) \( g(x, y)=\cos y \sin x \)

Problem/Ansatz:

Zuerst wollte ich mir die kritischen Punkte ausrechnen, hierfür muss gelten, dass alle ersten Ableitungen 0 sein müssen, also:

cos(y)cos(x) = 0

-sin(y)sin(x) = 0

Aber ich und auch mein Taschenrechner finden hierfür kein x bzw. y welches diese Gleichungen löst, hat diese Funktion einfach keine lokalen Extrema?

Answer 1

Jede Menge Extrema, sieh mal dort

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+cos%28y%29*sin%28x%29

Answer 2

cos(y)cos(x) = 0

Satz vom Nullprodukt:

       \(\cos(y) = 0\) oder \(\cos(x) = 0\),

also

        \(y = \frac{\pi}{2}+n\pi\) oder \(x = \frac{\pi}{2}+n\pi\) .

-sin(y)sin(x) = 0

Ebenfalls. Wenn aber \(\cos(y) = 0\) ist, dann muss \(\sin(x) = 0\) sein, weil \(\sin(y)\) nicht \(0\) sein kann. Es ist

      \(\sin(x) = 0\)

wenn

        \(x = n\pi\)

ist.

Kritische Punkte sind also

        \(\left(n_1\pi, \frac{\pi}{2}+n_2\pi\right)\)

und

      \(\left(\frac{\pi}{2}+n_1\pi, n_2\pi\right)\)

mit \(n_1,n_2\in\mathbb{Z}\).